Fraktionale Prozesse, die darauf bedingt werden, die positive Achse nicht zu verlassen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Fraktionale oder gebrochene stochastische Prozesse spielen eine wichtige Rolle bei der Modellierung von abhängigen Daten. Insbesondere die gebrochene Brownsche Bewegung ist sowohl ein schönes und interessantes mathematisches Objekt als auch ein wichtiges Modell in Anwendungen. Der Fokus dieses Projekts lag darauf, stochastische Prozesse darauf zu bedingen, die positive Achse nicht zu verlassen. Dies ist ein untypisches Szenario für den stochastischen Prozess, was das Vorgehen nichttrivial macht, aber auch mathematisch spannend. Die Hauptschwierigkeit bei dieser Frage für die gebrochene Brownsche Bewegung und andere gebrochene Prozesse ist die Tatsache, dass diese intrinsisch nicht-Markoffsch sind. Daher versagen klassische Techniken (wie die Doobsche h-Transformation). Stattdessen haben wir in diesem Projekt ein modifiziertes Problem studiert: Wir betrachten ein Funktional, welches die gebrochene Brownsche Bewegung für negative Werte ‘bestraft’, statt dies komplett zu verbieten. Dieses Funktional kam bereits in der Literatur im Zusammenhang mit Nichtaustrittswahrscheinlichkeiten vor. Es konnte im Projekt ein Grenzprozess für die ‘bestrafte’ gebrochene Brownsche Bewegung identifiziert werden. Im Brownschen Fall kann man für diesen Grenzprozess eine stochastische Differentialgleichung nachweisen. Es ist in Zukunft zu untersuchen, wie das Verhältnis zwischen dem betrachteten Grenzprozess und einer wirklichen auf Nichtnegativität bedingten Brownschen Bewegung ist.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Penalizing fractional Brownian motion for being negative. Stochastic Processes and their Applications, 130(11), 6625-6637.
Aurzada, Frank; Buck, Micha & Kilian, Martin
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Asymptotics of the persistence exponent of integrated fractional Brownian motion and fractionally integrated Brownian motion. Теория вероятностей и ее применения, 67(1), 100-114.
Aurzada, Frank & Kilian, Martin
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Persistence probabilities of mixed FBM and other mixed processes. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 55(30), 305003.
Aurzada, Frank; Kilian, Martin & Sönmez, Ercan
