Dynamische Modellierung von Unsicherheiten in der Finanzmathematik
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Seit der Finanzkrise von 2007 ist die Stabilität der Finanzmärkte zu einem zentralen Thema in der Finanzmathematik und in den Wirtschaftswissenschaften geworden. Viele Modelle gehen hierbei von einem festen Wahrscheinlichkeitsmaß P aus und nehmen an, dass dieses Maß über die Zeit konstant bleibt. In ökonomischen Anwendungen ist P jedoch in der Regel nicht bekannt, sondern muss geschätzt werden. Zudem sieht sich die moderne Finanzwelt einem sich schnell verändernden Umfeld gegenüber, sodass die Annahme, dass P – selbst über einen relativ kurzen Zeithorizont hinweg – unverändert bleibt, sich als nicht realistisch herausstellt. In der Finanzmathematik hat dies zur Entstehung des Foschungsfeldes Robust Finance geführt, welches sich systematisch mit Unsicherheit in der Modellierung befasst. Unsicherheit wird hierbei, den Ideen von Frank Knight folgend, dadurch dargestellt, dass das einzelne Wahrscheinlichkeitsmaß P durch eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen P ersetzt wird. Intuitiv betrachtet, legt man sich also nicht auf ein einziges Modell fest, sondern arbeitet mit einer ganzen Klasse möglicher Modelle. Frank Knight prägte für dieses Konzept den Begriff Uncertainty. Ein moderner Risikomanager interessiert sich für die Worst-Case-Bewertung, d.h. für das Supremum über die Erwartungswerte in allen betrachteten Modellen P. Während dieses Konzept in statischen Umgebungen und einfacheren dynamischen Modellen bereits gut verstanden ist, fehlte bislang eine umfassende Theorie für eine breite Klasse flexibler Modelle. Infolgedessen hat sich die Modellierung dynamischer Phänomene unter Knight’scher Unsicherheit in jüngster Zeit zu einem schnell wachsenden Forschungsfeld entwickelt. Im Rahmen dieses Projekts konnte durch eine Reihe von Arbeiten ein recht allgemeines Setting für Markov-Prozesse unter Knight’scher Unsicherheit entwickelt werden. Dies legt eine solide Grundlage für ein tieferes Verständnis von Risiken unter Unsicherheit und ermöglicht die Anwendung auf vielen weitereb Bereichen, die weit über die finanzmathematische Anwendung hinausgehen. Ein zentrales Objekt ist die nicht-lineare bedingte Erwartung Et (X) := sup P∈Pt EP [X], wobei die Klasse Pt = Pt (ω) von der aktuell verfügbaren Information abhängt - im Markovschen fall wäre dass der aktuelle Wert des betrachteten Prozesses. Ein wichtiger Schritt ist nun das Beweisen eines Prinzips des dynamischen Programmierens, welches es erlaubt eine nicht-lineare Version der Kolmogorov-Gleichung zu beweisen. Diese bildet ein effizientes Hilfsmittel zur Berechung der nicht-linearen Erwartung Et. Während das Projekt mit stetigen Semimartingalen startete, konnte das Setting auf deutlich allgemeinere Prozesse ausgeweitet werden, wie Markov Prozesse mit Sprüngen oder Pfadabhängige Prozesse. Die Ergebnisse dieses Projektes liefern einen präzisen Rahmen für eine fundierte Modellierung in einem dynamischen Kontext unter Berücksichtigung von Unsicherheit und eröffnen gleichzeitig zahlreiche offene Fragestellungen.
Link zum Abschlussbericht
https://oa.tib.eu/renate/items/f8c2ab0d-e678-4db2-bcbd-d277cdf49e1c
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Nonlinear continuous semimartingales. Electronic Journal of Probability, 28(none).
Criens, David & Niemann, Lars
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Robust utility maximization with nonlinear continuous semimartingales. Mathematics and Financial Economics, 17(3), 499-536.
Criens, David & Niemann, Lars
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A class of multidimensional nonlinear diffusions with the Feller property. Statistics & Probability Letters, 208, 110057.
Criens, David & Niemann, Lars
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A conditional Version of the second fundamental theorem of asset pricing in discrete time. Frontiers of Mathematical Finance, 3(2), 239-269.
Niemann, Lars & Schmidt, Thorsten
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Markov selections and Feller properties of nonlinear diffusions. Stochastic Processes and their Applications, 173, 104354.
Criens, David & Niemann, Lars
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Nonlinear semimartingales and Markov processes with jumps. Journal of Evolution Equations, 25(1).
Criens, David & Niemann, Lars
