Definierbarkeit und Entscheidbarkeit in globalen und lokalen Körpern
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Ein mathematisches Problem heißt entscheidbar, wenn es, grob gesagt, einen Algorithmus gibt, der für jede mögliche Eingabe die korrekte Antwort berechnet. Entscheidbarkeitsfragen in der Zahlentheorie haben eine lange Tradition, die mindestens bis zu Hilberts zehntem Problem über die Unentscheidbarkeit diophantischer Gleichungen zurückreicht: Gibt es einen Algorithmus, der bestimmt, ob ein gegebenes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ganzzahlige Nullstellen besitzt? Heutzutage bilden diese ein lebhaftes und sehr interdisziplinär ausgerichtetes Forschungsgebiet mit Einflüssen aus der Zahlentheorie, der arithmetischen Geometrie, der Galoistheorie, der Modelltheorie (mathematische Logik) und der Komplexitätstheorie (theoretische Informatik). Bedeutende offene Fragen sind hier die Entscheidbarkeit der existentiellen Theorie des Körpers der rationalen Zahlen (also die Frage, ob es einen Algorithmus gibt, der entscheidet, ob ein gegebenes Polynom eine rationale Nullstelle hat) und anderer sogenannter globaler Körper, sowie die Entscheidbarkeit der vollen Theorie in Logik erster Stufe eines lokalen Körpers positiver Charakteristik, also eines Potenzreihenkörpers über einem endlichen Grundkörper. Solche Entscheidbarkeitsfragen sind in diesem Gebiet oft eng mit Definierbarkeitsfragen verknüpft: Welche Teilmengen eines Rings oder Körpers sind diophantisch, also Projektion der Nullstellenmenge eines Polynoms, oder allgemeiner durch eine Formel in Logik erster Stufe in der Sprache der Ringe definierbar? Dieses Projekt hat Beiträge zu Fragen von Definierbarkeit und Entscheidbarkeit in globalen und lokalen Körpern und allgemeiner in algebraischen Körpern, Funktionenkörpern und henselsch bewerteten Körpern geleistet. Unter den Höhepunkten sind Ergebnisse über diophantische Mengen in Potenzreihenkörpern über algebraischen Körpern, Einblicke in die existentielle Theorie globaler Körper, eine topologische Beschreibung definierbarer Mengen in rationalen Funktionenkörpern über lokalen Körpern, eine Charakterisierung jeder endlich erzeugten Ringerweiterung eines lokalen Körpers durch einen Satz in Logik erster Stufe (innerhalb dieser Klasse) und die Entwicklung einer Modelltheorie henselsch bewerteter Körper positiver Charakteristik unter Auflösung von Singularitäten.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
-
Approximation theorems for spaces of localities. Mathematische Zeitschrift, 296(3-4), 1471-1499.
Anscombe, Sylvy; Dittmann, Philip & Fehm, Arno
-
Ap‐adic analogue of Siegel's theorem on sums of squares. Mathematische Nachrichten, 293(8), 1434-1451.
Anscombe, Sylvy; Dittmann, Philip & Fehm, Arno
-
Denseness results in the theory of algebraic fields. Annals of Pure and Applied Logic, 172(8), 102973.
Anscombe, Sylvy; Dittmann, Philip & Fehm, Arno
-
Existential rank and essential dimension of diophantine sets.
Daans, N.; Dittmann, Philip & Fehm, Arno
-
Nondefinability of Rings of Integers in Most Algebraic Fields. Notre Dame Journal of Formal Logic, 62(3).
Dittmann, Philip & Fehm, Arno
-
On the Northcott property and local degrees. Proceedings of the American Mathematical Society, 149(6), 2403-2414.
Checcoli, S. & Fehm, A.
-
Axiomatizing the existential theory of q((t)). Algebra & Number Theory, 17(11), 2013-2032.
Anscombe, Sylvy; Dittmann, Philip & Fehm, Arno
-
Defect extensions and a characterization of tame fields. Journal of Algebra, 630, 68-91.
Rzepka, Anna & Szewczyk, Piotr
-
Ax–Kochen–Ershov principles for finitely ramified henselian fields. Transactions of the American Mathematical Society.
Anscombe, Sylvy; Dittmann, Philip & Jahnke, Franziska
-
Definable henselian valuations in positive residue characteristic. The Journal of Symbolic Logic, 1-26.
Ketelsen, Margarete; Ramello, Simone & Szewcyk, Poitr
-
Interpretations of syntactic fragments of theories of fields.
Anscombe, Sylvy & Fehm, Arno
-
On the existential theory of the completions of a global field.
Dittmann, Philip & Fehm, Arno
-
Model theory of rings and fields finitely generated over local fields. PhD thesis, Dresden
Vollprecht, A.
-
Universal-existential theories of fields. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 69(1), 95-124.
Anscombe, Sylvy & Fehm, Arno
