Shock capturing and numerical dissipation in high-order methods for hyperbolic conservation laws

• Applicant: Professor Dr. Thomas Sonar
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2018 to 2022
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 405315368

• Final Report Year: 2022

Final Report Abstract

Hyperbolische Erhaltungsgleichungen sind eine Klasse von partiallen Differentialgleichungen, welche zur Modellierung vieler Phänomene in der Physik verwendet werden, darunter das Verhalten von Fluiden und damit verbundenen Strömungssimulationen. Sowohl die theoretische als auch numerische Behandlung dieser Gleichungen erweist sich allerdings als äußerst schwierig. Grund dafür ist, dass ihre Lösungen selbst bei glatten Anfangszuständen und in endlicher Zeit Stöße und andere Unstetigkeiten (plötzliche sprunghafte Änderungen in ihrem Verhalten) entwicklen können. Um diese numerisch zu kontrollieren, müssen Verfahren zur Stoßerfassung zum Einsatz kommen. Ziel dieses DFG-Projekts war die Analyse bereits existierender Verfahren zur Stoßerfassung sowie die Entwicklung neuer. Im Zuge dessen konnten wir neue beweisbare Eigenschaften sowie wichtige Erfolgskriterien für einige existierende, Diffusions-basierte, Ansätze aufzeigen. Insbesondere wurde herausgestellt, dass der Eingriff durch solche Verfahren idealerweise stark lokal um die entsprechenden Stoßunstetigkeiten herum geschehen sollte.

Publications

• Smooth and Compactly Supported Viscous Sub-cell Shock Capturing for Discontinuous Galerkin Methods. Journal of Scientific Computing, 79(1), 249-272.
  Glaubitz, J.; Nogueira, A. C.; Almeida, J. L. S.; Cantão, R. F. & Silva, C. A. C.
  
• Stability of artificial dissipation and modal filtering for flux reconstruction schemes using summation-by-parts operators. Applied Numerical Mathematics, 128, 1-23.
  Ranocha, Hendrik; Glaubitz, Jan; Öffner, Philipp & Sonar, Thomas
  
• High Order Edge Sensors with $\ell^1$ Regularization for Enhanced Discontinuous Galerkin Methods. SIAM Journal on Scientific Computing, 41(2), A1304-A1330.
  Glaubitz, Jan & Gelb, Anne
  
• Shock capturing by Bernstein polynomials for scalar conservation laws. Applied Mathematics and Computation, 363, 124593.
  Glaubitz, Jan
  
• Analysis of artificial dissipation of explicit and implicit time-integration methods. Int J Numer Anal Model, 17.3, 332–349 (2020)
  P. Öffner, J. Glaubitz & H. Ranocha
  
• Shock capturing and high-order methods for hyperbolic conservation laws. Logos Verlag Berlin.
  Glaubitz, Jan