Nachhaltige Optimalsteuerungen für Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen mit Anwendungen

• Antragsteller: Professor Dr. Günter Leugering
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 405372818

Optimierung und Sreuerung unter Nebenbedingungen fürht meistens zur vollen Auslastung der zur verfügung gestellten Ressourcen. Dies bedingt in der Regel Steuerungsinputs an das zugrundeliegende System, die mit einem starken Eneergieeintrag verbunden sind. Derartig starke Energieeinträge bringen das Material unter Spannungen und führen langfristig zur Schädigung. Insbesondere in der Kontinuumsmechanik kann es etwa bei dem Konzept der zeitminimalen Steuerung zu einem Konlfikt kommen, in dem das Bedürfnis nach schneller Terminierung des Steuerungsprozesses, das mit starken inputs einhergeht, mit der Anforderung möglichst langer Lebensdauer konkurriert. Im Rahmen automatisierter Steuerung und Optimierung müssen diese antagonistischen Ziele systematisch in die Optimierung einbezogen werden. Die Entwicklng von Schädigung und Versagen ist an sich ein breites Forschungsgebiet, das auch im Rahmen mathematische Analyse intensiv beforscht wird. In diesem Projekt geht es nicht um spezifische Schädigungsgesetze und deren mathematische Umsetzung, sondern um eine möglichst allgemeine Formulierung in Form von dynamischen Schädigungsvariablen, die sich bezüglich Ort und Zeit in einem durch 0 und 1 begrenzten Intervall bewegen, das den Schädigunsgrad repräsentiert: Bei 0 liegt vollständige Schädigung vor, während 1 den Originalzustand dartsellt. Insgesamt ergibt sich eine ggf. nichtlineare partielle Differentialgleichung (PDE), in diesem Projekt eine Wellengleichung, die über die Schädigunsvariable mit einer nichtlinearen parabolischen Differentialgleichung gekoppelt ist. Die Optimierung bzw. Optimalsteuerung erfolgt vom Rande des Gebietes her auf dem die PDE definiert ist. man hat es also mit einer hyperbolisch-parabolischen Kopplung nichtlinearer PDEs zu tun, die vom Rande her so gesetuert werden, dass eine Kostenfunktion minimiert wird. Dies Kostenfunktion beinhaltet neben den üblichen Optimierungszielen auch beiträge, die die Schadensakkumulation messen und im Zuge der Optimierung verhindern soll. Wir betrachten drei Stufen der Schädigung: i.) statische Schädigung an einem festen Ort. ii.) Schädigungsevolution an einem festen Ort und iii.) Schädigungsevolution an zuvor unbekannten Stellen im Gebiet.Mathematisch wird die Schädigung durch Koeffizienten beschrieben, die als Multiplikatoren in den höchsten Differentialsausdrücken bzw. bei Kopplungen niederer Ordnung in den Kopplungskoeffizienten auftauchen. Im ersten und schiwerigeren Fall werden gewichtete Sobolovräume angesetzt. In diesem Fall kann es zu dem Lavrentiev-Lückenphänomen kommen, dass mit Blick auf Existenz-und Eindeutigkeitsaussagen Problem macht. Es werden in allen Fällen Fragen der korrekten Gestelltheit und der Existenz von Optimalsteuerungen sowie nach Optimalitätssystemen zu deren Charakterisierung gestellt.und beantwortet. Hierzu werden Methoden der Relaxierung, Regularisierung, Approximation verwendet und numerische Resultate erarbeitet. So entsteht insgesamt ein Konzept der Nachhaltigkeit.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Ukraine
• Partnerorganisation: The State Fund for Fundamental Researches
• Kooperationspartner: Professor Dr. Petro I Kogut