Quadratische Formen, Quadriken, Summen von Quadraten und Katos Kohomologie in positiver Charakteristik

• Antragsteller: Professor Dr. Detlev Hoffmann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 405463680

Koniken sind Schnitte einer Kegeloberfläche mit einer Ebene, also Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln. In projektiver Geometrie können sie als Nullstellen homogener Polynome vom Grad 2 in drei Variablen dargestellt werden. Solch homogene quadratische Polynome in mehreren Variablen nennt man quadratische Formen, und wie für Koniken erhält man so geometrische Objekte, die man Quadriken nennt und die über beliebigen Körpern definiert werden können. Es gibt gut entwickelte Theorien für quadratische Formen und Quadriken, welche algebraische bzw. geometrische Methoden verwenden und welche auf subtile Art interagieren und so durch Kombination dieser Methoden zu einer reichhaltigen Theorie führen. Ein Teil des Projekts ist der Klassifikation von Quadriken bzgl. verschiedener Vergleichsmethoden, wie Isomorphismus, (stabil) birationale Äquivalenz, oder motivische Äquivalenz, gewidmet. Motivische Äquivalenz ist ein neueres Konzept, welches aus Voevodskys mit der Fields-Medaille gewürdigten Arbeiten über motivische Homotopietheorie hervorging. Je nach Äquivalenzrelation fällt die Klassifikation feiner oder gröber aus. Wir planen, diese verschiedenen Klassifikationsmethoden zu vergleichen mit besonderem Fokus auf Körper der Charakteristik 2, d.h. in denen 2=0 gilt. Dann sind die bekannten Ergebnisse deutlich unvollständiger als im Fall von Charakteristik ungleich 2. Ein wichtiges algebraisches Werkzeug bei der Klassifikation quadratischer Formen in Charakteristik 2 sind Katos Kohomologiegruppen, welche über beliebigen Körpern positiver Charakteristik definiert werden können. Der zweite Teil des Projekts beschäftigt sich mit den Eigenschaften dieser Gruppen, insbesondere ihrem Verhalten unter Körpererweiterung und der Frage, welche Elemente ein gegebenes anderes in so einer Gruppe annullieren. Ein weiterer Aspekt quadratischer Formen betrifft die Darstellbarkeit von Elementen durch solche Formen über einem beliebigen kommutativen Ring. Ein klassisches auf Lagrange zurückgehendes Ergebnis sagt aus, dass sich jede natürliche Zahl als Summe von vier Quadraten ganzer Zahlen schreiben lässt und dass man i.A. auch vier Quadrate benötigt. Hier ist die quadratische Form gegeben durch eine Summe von vier Quadraten über den ganzen Zahlen. Die Pythagoraszahl p eines Ringes ist die kleinste natürliche Zahl n, sodass sich jede Summe von Quadraten im Ring als Summe von n Quadraten schreiben lässt (oder unendlich falls so ein n nicht existiert). Lagranges Satz besagt also, dass die Pythagoraszahl der ganzen Zahlen gleich 4 ist. Die Stufe s eines Ringes ist das kleinste n, sodass sich -1 also Summe von n Quadraten schreiben lässt (oder unendlich falls so ein n nicht existiert). Ist s endlich, so hängen s und p auf subtile Weise voneinander ab: p ist mindestens s und höchstens s+2. Wir untersuchen, welche Werte für s, p und verwandte Invarianten angenommen werden können für Ringe mit endlichem s, und bestimmen explizit diese Werte für spezielle Ringe.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 1786: Homotopietheorie und algebraische Geometrie