Stabilität und Robustheit von Attraktoren nichtlinearer unendlich-dimensionaler Systeme bei Störungen

• Antragsteller: Professor Dr. Sergey Dashkovskiy
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 405685496

Ziel dieses Projekts ist das Studium der Stabilität und Robustheit von globalen Attraktoren unendlich-dimensionaler nichtlinearer Systeme, die impulsiven Störungen und externen Störungen unterliegen. Die externen Störungen können dabei im Inneren oder auf dem Rand des räumlichen Gebietes wirken, auf dem das betrachtete System definiert ist.Aufgrund der impulsiven Störungen geht die stetige Abhängigkeit von Lösungen von den Anfangswerten verloren. Dies macht die Anwendung klassischer Methoden der globalen Attraktortheorie unmöglich und erfordert neue Werkzeuge und Methoden für das Studium von globalen Attraktoren. Insbesondere ist es erforderlich überhaupt erst einen geeigneten Stabilitätsbegriff für Attraktoren auszuarbeiten.Wir werden für relativ große Klassen von unendlich-dimensionalen Systemen hinreichende Bedingungen für die Existenz, Stabilität und Robustheit globaler Attraktoren herleiten. Damit werden wir das asymptotische Verhalten impulsiver Systeme untersuchen, die erzeugt werden beispielsweise durch Evolutionsinklusionen vom parabolischen Typ mit mehrwertiger rechter Seite, durch parabolische Systeme von Reaktions-Diffusionsgleichungen mit nichtglatter Wechselwirkung, oder durch schwach nichtlineare hyperbolische Evolutionsgleichungen. Wir werden dabei zwei Arten impulsiver Störungen betrachten: bei der ersten Art Störung kann ein instantaner Zustandssprung nur zwischen zwei vorgegebenen echten und geometrisch einfachen Teilmengen des Zustandsraums erfolgen, während bei der zweiten Art Störung keinerlei Einschränkung an den Zielbereich der instantanen Zustandssprünge gemacht wird. Das Springen der Energie eines Systems zwischen festen Energieniveaus ist ein typisches Beispiel für die erste Sorte und ein typisches Beispiel für die zweite Sorte impulsiver Störungen ist ein Stoß eines elastischen Körpers mit einem Festkörper oder mit einem anderen elastischen Körper. Im Anschluss daran werden wir untersuchen, inwieweit die ebenfalls betrachteten externen Störungen die globalen Attraktoren beeinflussen. Insbesondere werden wir untersuchen, wie weit der Fluss des gestörten Systems von dem des ungestörten Systems abweicht in Abhängigkeit von der Größe der Störung. Wir werden dabei Eingangs-Zustands-Stabilität herleiten für globale Attraktoren nichtlinearer parabolischer Evolutionsgleichungen und -inklusionen.Außerdem werden wir gekoppelte unendlich-dimensionale Systeme betrachten, die jeweils einen stabilen globalen Attraktor haben, und uns fragen, ob auch das gekoppelte System einen globalen Attraktor besitzt und ob dieser Eingangs-Zustand-Stabil ist. Um diese Fragen zu beantworten werden wir small-gain-artige Bedingungen entwickeln. Für gekoppelte Systeme, die impulsiven Störungen unterliegen, werden wir auch das Zusammenspiel von small-gain und dwell-time Bedingungen untersuchen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Ukraine
• Partnerorganisation: The State Fund for Fundamental Researches
• Kooperationspartner: Professor Dr. Oleksiy Kapustyan