Approximationseigenschaften von Interpolations- und Quasi-Interpolationsoperatoren

• Antragsteller: Dr. Yurii Kolomoitsev
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 406704922

Interpolation und Quasi-Interpolation sind bedeutsame mathematischen Methoden, die in vielen Bereichen der Wissenschaft und des Ingenieurwesens Anwendung finden. Sie spielen eine große Rolle als Bindeglied zwischen zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Signalen. Für eine geeignete Anwendung der Interpolations- und Quasi-Interpolationsoperatoren ist es sehr wichtig, die Güte der Approximation von Funktionen durch solche Operatoren in verschiedenen Situationen zu kennen.Das Hauptziel dieses Projektes ist das Studium von Approximationseigenschaften von Klassen dieser Interpolations- und Quasi-Interpolations-Operatoren in verschiedenen Funktionenräumen, wie gewichteten Lp-Räumen, Sobolev-Räumen, Lipschitz-Räumen und anderen wichtigen Funktionenräumen, die auf dem d-dimensionalen Euklidischen Raum, Torus und Hyperwürfel definiert werden. Insbesondere planen wir, eine Reihe neuer Fehlerabschätzungen für Interpolations- und Quasi-Interpolationsoperatoren durch einen einheitlichen Ansatz zu entwickeln, der auf Fourier-Multiplikatoren und Fourier-Transformationsmethoden basiert. Das Hauptaugenmerk unserer Forschung soll auf der Entwicklung verschiedener Glattheitsmaße liegen, die abhängig von der betrachteten Aufgabenstellung, d.h. dem Typ des Operators oder des Funktionenraumes, vollständige und adäquate Informationen über die Güte der Approximation einer gegebenen Funktion durch den entsprechenden Operator liefern. Unser Interesse gilt insbesondere dem Studium der Eigenschaften grundlegender Objekte der harmonischen Analysis und Approximationstheorie, wie Smolyak-Algorithmus, dünne Gittern, Zerlegungen vom Littlewood-Paley-Typ, Lebesgue-Konstanten der Interpolationsprozesse, Fourier-Transformation und verschiedene Glättungsmaße (spezielle Stetigkeitsmodule und K-Funktionale). Im Mittelpunkt unserer Forschung wird die anisotrope Natur der untersuchten Objekte stehen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen