Approximationseigenschaften von Interpolations- und Quasi-Interpolationsoperatoren

• Antragsteller: Dr. Yurii Kolomoitsev
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 406704922

• Erstellungsjahr: 2022

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Interpolation und Quasi-Interpolation gehören zu den wichtigsten mathematischen Verfahren, die in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften verwendet werden. Sie spielen eine große Rolle als Bindeglied zwischen zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Signalen. Aufgrund des Trends, analoge Signale durch digitale zu ersetzen, haben Interpolation und Quasi-Interpolation Anwendungen in vielen Bereichen gefunden, darunter Signalanalyse, Informationstheorie, Bildverarbeitung, Akustik, Optik, medizinische Bildgebung usw. Für die richtige Anwendung von Interpolations- und Quasi-Interpolationsoperatoren ist es sehr wichtig, die Güte der Approximation von Funktionen durch solche Operatoren in verschiedenen Situationen zu kennen. In diesem Projekt untersuchten wir die Approximationseigenschaften der breiten Klassen der Interpolations- und Quasi-Interpolations-(Quasi-Projektions-)Operatoren in den klassischen Funktionsräumen auf dem multivariaten euklidischen Raum, Torus und Hyperwürfel. Insbesondere haben wir eine Reihe neuer Fehlerabschätzungen für Interpolations- und Quasi-Interpolationsoperatoren erhalten, indem wir einen einheitlichen Ansatz entwickelt haben, der auf der Theorie der Fourier-Multiplikatoren basiert. In einigen wichtigen Fällen haben wir gezeigt, dass unsere Abschätzungen des Approximationsfehlers in dem Sinne scharf sind, dass sie einem geeigneten Glättungsmodul oder K-Funktional entsprechen. Eines der Hauptmerkmale unserer Ergebnisse ist, dass sie in angewandten Problemen verwendet werden können, die Rauschdaten enthalten und die funktionalen Informationen durch andere Mittel als Punktauswertung (z. B. Integrale, Mittelung, geteilte Differenzen usw.) oder in dem Fall, wenn Informationen durch Punktauswertung bereitgestellt werden, aber unstetigen, unbeschränkten oder stark oszillierenden Signalen entsprechen. Die Ergebnisse können auch in angewandten hochdimensionalen Problemen verwendet werden, die natürlicherweise in verschiedenen wissenschaftlichen Bereichen auftreten. Um die Ziele des Projekts zu erreichen, haben wir auch verschiedene Glattheitsmaße untersucht, die abhängig von den betrachteten Aufgaben (Art des Operators und des Funktionsraums) vollständige und angemessene Informationen über die Qualität der Approximation einer gegebenen Funktion durch den entsprechenden Operator liefern. Insbesondere haben wir Eigenschaften solcher Objekte der harmonischen Analysis und der Approximationstheorie wie die Lebesgue-Konstanten von Interpolationsprozessen und Partialsummen von Fourier-Reihen und verschiedene Glattheitsmaße (spezielle Glättungsmoduln, K-Funktionale und ihre Realisierungen und die entsprechende semi-diskrete Größen). Im Mittelpunkt unserer Forschung steht die anisotrope Natur der untersuchten Objekte.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Approximation by periodic multivariate quasi-projection operators. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 489(2), 124192.
  Kolomoitsev, Yu.; Krivoshein, A. & Skopina, M.
  
• Properties of moduli of smoothness in Lp(Rd). Journal of Approximation Theory, 257, 105423.
  Kolomoitsev, Yurii & Tikhonov, Sergey
  
• Smoothness of functions versus smoothness of approximation processes. Bulletin of Mathematical Sciences, 10(03), 2030002.
  Kolomoitsev, Yu. S. & Tikhonov, S. Yu.
  
• Approximation by multivariate quasi-projection operators and Fourier multipliers. Applied Mathematics and Computation, 400, 125955.
  Kolomoitsev, Yurii & Skopina, Maria
  
• Approximation properties of periodic multivariate quasi-interpolation operators. Journal of Approximation Theory, 270, 105631.
  Kolomoitsev, Yurii & Prestin, Jürgen
  
• Asymptotics of the Lebesgue constants for a $d$-dimensional simplex. Proceedings of the American Mathematical Society, 149(7), 2911-2926.
  Kolomoitsev, Yurii & Liflyand, Elijah
  
• Asymptotics of the Lebesgue constants for bivariate approximation processes. Applied Mathematics and Computation, 403, 126192.
  Kolomoitsev, Yurii & Lomako, Tetiana
  
• Quasi-projection operators in weighted L spaces. Applied and Computational Harmonic Analysis, 52, 165-197.
  Kolomoitsev, Yu. & Skopina, M.
  
• Approximation by quasi-interpolation operators and Smolyak's algorithm. Journal of Complexity, 69, 101601.
  Kolomoitsev, Yurii
  
• Uniform approximation by multivariate quasi-projection operators. Analysis and Mathematical Physics, 12(2).
  Kolomoitsev, Yu. & Skopina, M.