Multilevel-Methoden hoher Ordnung in Zeit und Raum für die numerische Simulation inkompressibler Strömungen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Numerische Methoden mit hoher Konvergenzordnung können bei vergleichbarem Aufwand eine deutlich größere Genauigkeit erzielen als die vorherrschenden Methoden niedriger Ordnung, die auf stückweise konstanten oder linearen Approximationen basieren. In der numerischen Strömungsmechanik lag der Fokus bisher auf Methoden hoher Ordnung für die Ortsdiskretisierung. Erhebliche Fortschritte wurden vor allem bei der Entwicklung von kontinuierlichen und diskontinuierlichen Galerkin-Methoden erzielt, die eine Zerlegung des Rechengebietes in Elemente mit Polynomansätzen beliebig hohen Grades, in der Regel 4 bis 16, und damit eine entsprechend hohe Konvergenzrate ermöglichen. Demgegenüber werden für die Diskretisierung im Zeitbereich überwiegend Methoden niedrigerer Ordnung verwendet. Bei der Anwendung auf inkompressible Strömungen dominieren Methoden der Ordnung 2 und solche mit Ordnung 3 oder 4 bilden bereits eine Ausnahme. Für eine höhere Genauigkeit muss die Schrittweite in der Zeit deshalb wesentlich schneller reduziert werden als im Ort, wodurch die Zeitintegration zum limitierenden Faktor wird, der eine bessere Nutzung der Ressourcen, wie Rechenzeit und Energie, verhindert. Um diese Einschränkung zu überwinden, wurden im vorliegenden Projekt Zeitintegrationsmethoden für inkompressible Strömungen mit beliebig hoher Konvergenzordnung entwickelt. Diese Methoden ermöglichen eine Anpassung der zeitlichen Diskretisierung an die im Ort und können so die Rechenkosten reduzieren. Den Ausgangspunkt bildet die seit dem Jahr 2000 entwickelte Methode der Spektral Verzögerten Korrektur. Im Rahmen des Projektes wurde diese Methode auf inkompressible Strömungen erweitert. Ein wesentlicher Schritt war die Verallgemeinerung von Projektionsmethoden als ein Grundbaustein für das Korrekturverfahren. Der im Projekt entwickelte semi-implizite Zugang ist effizienter und robuster als vergleichbare Verfahren und erlaubt im Unterschied zu diesen die Berücksichtigung variabler Stoffeigenschaften. Für laminare Strömungen mit variabler Viskosität und instationären Randwerten wurde eine Konvergenzordnung von 12 in der Zeit erreicht und bereits bei moderaten Genauigkeitsanforderungen die Überlegenheit gegenüber Zeitintegrationsmethoden niedrigerer Ordnung nachgewiesen. Bei der Simulation turbulenter Strömungen erzielten Runge-Kutta-Methoden dritter Ordnung eine deutliche Kostenreduktion gegenüber Methoden zweiter Ordnung. Aufgrund der marginalen räumlichen Auflösung und der Stabilitätsbeschränkungen der semi-impliziten Projektionsmethode mit Methoden höherer Ordnung kein weiterer Vorteil erreicht werden. Ein möglichen Ausweg bieten implizite Methoden, die in künftigen Projekten untersucht werden sollten.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Robust multigrid for high-order discontinuous Galerkin methods: A fast Poisson solver suitable for high-aspect ratio Cartesian grids. Journal of Computational Physics, 327 (2016, 12), 317-336.
Stiller, Jörg
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A spectral deferred correction method for incompressible flow with variable viscosity. Journal of Computational Physics, 423 (2020, 12), 109840.
Stiller, Jörg
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Evaluation and development of Spectral Deferred Correction Methods for convection-diffusion equations. GAMM Jahrestagung, Kassel, 17.03.2021
Grotteschi M., Stiller J., Guesmi M.
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Assessment of high‐order IMEX methods for incompressible flow. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 95(6), 954-978.
Guesmi, Montadhar; Grotteschi, Martina & Stiller, Jörg
