Perkolationsmodelle mit langreichweitigen Korrelationen und Isomorphiesätze

• Antragsteller: Professor Dr. Alexander Drewitz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 410738796

• Erstellungsjahr: 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

In diesem Forschungsprojekt wurden Isomorphiesätze verwendet, um Perkolationsmodelle mit langreichweitigen Korrelationen zu erforschen. Dabei lag der Fokus auf den Niveaumengen des Gauß’schen freien Feldes (GFF) auf metrischen Graphen und dem sogenannten vacant set des Modells der Random Interlacements (RI). Für das vacant set der RI konnten wir die Positivität des kritischen Parameters für eine umfassende Menge transienter und in gewisser Weise regulärer Graphen beweisen, einschließlich spezifischer Beispiele von Präfraktalen. In Verbindung mit früheren Erkenntnissen erweitert dieses Ergebnis die Nicht-Trivialität des Phasenübergangs in diesem Perkolationsproblem auf solche Graphen. Hinsichtlich des GFF auf metrischen Graphen haben wir eine explizite Formel für das Gesetz der Kapazität der Niveaumengen hergeleitet. Diese Formel war entscheidend, um zu schliessen, dass der Phasenübergang des Perkolationsproblems von zweiter Ordnung ist, und sie ermöglichte die Bestimmung des kritischen Exponenten für die Perkolationsfunktion. Anschließende Arbeiten vertieften die Bestimmung verschiedener kritischer Exponenten, hauptsächlich in transienten Graphen mit einer Volumendimension von höchstens drei. Diese Erkenntnisse stimmen mit Vorhersagen aus der physikalischen Literatur überein. Bemerkenswert ist, dass all diese kritischen Exponenten rationale Funktionen zweier Exponenten sind, welche durch den zu Grunde liegenden Graphen bestimmt sind. Das bekräftigt ihre erwartete Universalität nachdrücklich.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Cluster capacity functionals and isomorphism theorems for Gaussian free fields. Probability Theory and Related Fields, 183(1-2), 255-313.
  Drewitz, Alexander; Prévost, Alexis & Rodriguez, Pierre-François
  
• Critical exponents for a percolation model on transient graphs. Inventiones mathematicae, 232(1), 229-299.
  Drewitz, Alexander; Prévost, Alexis & Rodriguez, Pierre-François
  
• Generating Galton–Watson trees using random walks and percolation for the Gaussian free field. The Annals of Applied Probability, 34(3).
  Drewitz, Alexander; Gallo, Gioele & Prévost, Alexis
  
• Geometry of Gaussian free field sign clusters and random interlacements. Probability Theory and Related Fields, 192(1-2), 625-720.
  Drewitz, Alexander; Prévost, Alexis & Rodriguez, Pierre-François
  
• Percolation for two-dimensional excursion clouds and the discrete Gaussian free field. Electronic Journal of Probability, 29(none).
  Drewitz, A.; Elias, O.; Prévost, A.; Tykesson, J. & Viklund, F.