Quanteninvarianten, Konkordanz und Entknotung

• Antragsteller: Dr. Lukas Lewark
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 412851057

Mein Forschungsgebiet ist die niedrigdimensionale Topologie und die Knotentheorie, ein sehr aktiver Bereich der reinen Mathematik, welcher in den letzten Jahrzehnten Schauplatz außerordentlicher Entwicklungen war, wie dem Aufkommen kategorifizierter Quanteninvarianten. Es ist ein facettenreiches Gebiet mit vielerlei Einflüssen. Knoten haben natürliche Verbindungen zu dreidimensionaler Topologie; aus der Perspektive der algebraischen Topologie ergibt sich eine Verbindung zur Gruppentheorie (durch die Fundamentalgruppe) und zur Theorie quadratischer Formen (durch Homologie). Knotendiagramme hingegen sind nichts anderes als dekorierte ebene Graphen, und öffnen so das Tor für den Einsatz kombinatorischer Techniken, und zu einer Verbindung zu Quanteninvarianten. Schließlich sind Knoten für vierdimensionale Mannigfaltigkeiten von Bedeutung, und der Gegensatz zwischen glatten und topologischen 4-Mannigfaltigkeiten äußert sich auch auf der Ebene von Knoten.Mein grundlegendes Ziel ist es, Brücken zwischen diesen verschiedenen Bereichen zu schlagen. Konkreter verfolge ich die folgenden drei Fragen:(1) Was für topologische Information enthält die Seifertform?(2) Was für geometrische Information enthalten Quanteninvarianten?(3) Was können Knotendiagramme über Entknotung und Flächen im Dreidimensionalen sagen?Die Methodik für (1) ist eine Mischung aus dreidimensionalen Techniken und solcher quadratischer Formen, und baut letztlich auf Freedmans Arbeit auf. Meine Vorarbeit besteht aus der Entwicklung einer effizienten oberen Schranke für das topologische Viergeschlecht. Der nächste Schritt ist eine vollständige algebraische Charakterisierung des minimalen Geschlechts von Flächen im Vierdimensionalen, deren Komplement zyklische Fundamentalgruppe hat. Es ist selten, dass eine topologische Größe auf diese Weise algebraisch beschrieben werden kann.Für (2) kann ich auf langjährige Erfahrung mit Khovanov-Rozansky Homologien zurückgreifen. Es ist ein Ergebnis meiner Arbeit (die homologische Algebra und computergestützte Rechnungen verwendet), dass diese Homologien deutlich mehr Information über glatte Konkordanz enthält als zuvor angenommen. Diese Information ist potentiell stark genug, ungerade Torsion in der Konkordanzgruppe zu finden. Kategorifizierte Quanteninvarianten sind ein junges und dynamisches Thema; meine Arbeit befasst sich mit einer der zentralen Fragen, nämlich der geometrischen Interpretation dieser Invarianten.Ziel (3) betrifft ein Gebiet, auf dem ich gerade erst begonnen habe zu arbeiten. Trotzdem erwarte ich schon bald erste Ergebnisse, mit Hilfe von Methoden aus der Graphentheorie und der Theorie der Zöpfe. Konkret beabsichtige ich zu zeigen, welche kanonischen Seifertflächen quasipositiv sind, dass fast positive Knoten streng quasipositiv sind, und dass die Entknotungszahl eines positiven gefaserten Knotens gleich seinem Geschlecht ist. All diese Aussagen beantworten offene Vermutungen.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen