Galoisgruppen lokaler Funktionenkörper

• Antragsteller: Professor Dr. Jürgen Klüners
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 413234620

In den letzten Jahren gab es viele neue Entwicklungen bei der Berechnung von Galoisgruppen über den rationalen Zahlen. Früher waren die Algorithmen durch den Zugriff auf abgespeicherte Daten gradbeschränkt. Durch neuere Arbeiten des Antragsstellers besteht dieses Hindernis nicht mehr. Die Methoden können theoretisch auf globale Körper und Funktionenkörper in Charakteristik 0 verallgemeinert werden. Gemeinsam ist, dass alle Verfahren den Zugriff auf die approximativ berechneten Nullstellen benutzen und die Galoisgruppe als Permutationsgruppe auf diesen berechnet wird.Im Fall lokaler Körper bekommen wir keinen Zugriff auf die Nullstellen, ohne den Zerfällungskörper zu berechnen. Christian Greve hat 2010 in seiner Doktorarbeit unter meiner Betreuung wesentliche Fortschritte p-adischen Fall erzielt. Mit Hilfe des Verzweigungspolygons eines Eisensteinpolynoms konnte er in polynomieller Laufzeit einen Teilkörper T des Zerfällungskörpers N bestimmen, so dass N/T eine p-Erweiterung ist. Hierduch können wir die weitere Betrachtung auf p-Erweiterungen reduzieren.Im Gegensatz zu den rationalen Zahlen ist die absolute Galoisgruppe lokaler Körper sehr gut verstanden. Wenn wir uns auf die Galoisgruppe der maximalen pro-p-Erweiterung einschränken, ist diese Gruppe in allen Situationen bekannt. Im p-adischen Fall ist diese Gruppe endlich erzeugt mit höchstens einer Relation. Sie ist frei, wenn keine p-ten Einheitswurzeln im Grundkörper enthalten sind. Im lokalen Funktionenkörperfall ist diese Gruppe immer frei, besitzt aber abzählbar unendlichen Rang.Wir wollen uns auf den lokalen Funktionenkörperfall konzentrieren. In diesem Fall gibt es noch keine implementierten Algorithmen (im Gegensatz zum p-adischen Fall) und wir haben das Gefühl, dass sich hier einige Dinge vereinfachen. Wichtige Hilfsmittel dabei sind die lokale Klassenkörpertheorie und die bekannte Struktur der absoluten Galoisgruppe.Teilkörper der gegebenen Erweiterung geben zusätzliche Informationen über die Galoisgruppe. Zusammen mit Mark van Hoeij hat der Antragsteller einen neuen Algorithmus entwickelt, welcher im Zahlkörperfall implementiert ist. Diese Methoden sollten sehr allgemein funktionieren und auch auf die lokale Situation anwendbar sein. Auch hier vermuten wir, dass die lokalen Funktionenkörper einfacher als die p-adischen Körper sind.Als weiteres Ziel wollen wir die existierende Datenbank für Zahlkörper mit gegebener Galoisgruppe ausbauen. Weiterhin wollen wir eine Datenbank für lokale Funktionenkörper in kleiner Charakteristik und beschränkter Diskriminante aufbauen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen