Maass-sche Spitzenformen, die Vermutung von Phillips und Sarnak und die Transfer-Operatoren kofiniter Fuchs-scher Gruppen

• Applicant: Professor Dr. Dieter Mayer
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2007 to 2011
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 41837283

Die Existenz von Maass-schen Spitzenformen, also von Eigenzuständen des Laplace Operators auf nicht-kompakten Flächen konstanter negativer Krümmung, hängt nach der Vermutung von Phillips und Sarnak eng mit deren arithmetischen Eigenschaften zusammen. Für nichtarithmetische Flächen sollten demnach solche Zustände höchstens in endlicher Anzahl vorhanden sein. Die bisherigen Arbeiten zu dieser Vermutung benutzen im Prinzip alle die von Phillips und Sarnak ursprünglich entwickelten Methoden der Störungstheorie für den Laplace-Operator, um das Verhalten eines diskreten in das kontinuierliche Spektrum eingebetteten Eigenwerts unter Deformation z.B. der arithmetischen Fläche in deren Teichmüller-Raum bzw. des Charakters im Fall des Laplace-Operators mit Twist zu verstehen. Im geplanten Forschungsprojekt soll zum erstenmal die sogenannte Transfer-Operator-Methode auf diese Fragestellung angewandt werden. Die fraglichen Eigenwerte erscheinen dabei als Nullstellen von Fredholm-Determinanten dieser Operatoren, welche immer nuklear sind. Folglich treten dann die bekannten mit dem kontinuierlichen Spektrum zusammenhängenden Probleme nicht auf und es ist zu erwarten, dass die Störungstheorie für diese Operatoren sehr viel einfacher ist. Insbesondere die von manchen Experten kritisch betrachtete singuläre Störungstheorie, wie sie von verschiedenen Autoren benutzt wurde, könnte im Rahmen der Transfer-Operator-Methode neu beleuchtet werden.

• DFG Programme: Research Grants