Chowgruppen von Nullzykeln und höheren Nullzykeln
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In der algebraischen Geometrie studiert man Lösungsmengen von Gleichungen mit verschiedenen Koeffizienten. Beispiele solcher Koeffizienten sind die komplexen, rationalen, p-adischen oder ganzen Zahlen. Sofern sie mit einer bestimmten Struktur ausgestattet sind, werden diese Lösungsmengen Varietäten genannt. Um eine Varietät zu studieren, kann man deren Unterräume, d.h. Untervarietäten, betrachten und bezüglich eines Begriffs von Gleichheit bzw. Äquivalenz klassifizieren. In der Theorie der Chowgruppen, welche eine klassische Theorie der Invarianten darstellt, klassifiziert man Unterräume einer Varietät bis auf rationale Äquivalenz. Zwei Unterräume einer Varietät sind rational äquivalent, wenn einer in den anderen deformiert werden kann. Die Theorie der Chowgruppen gibt nicht nur Informationen über die Geometrie der studierten Objekte, sondern auch über die Koeffizienten der Gleichungen, welche das jeweilige Objekt definieren. Durch diesen theoretischen Zugang mehr über die rationalen, p-adischen oder ganzen Zahlen zu erfahren, ist ein zentrales Anliegen der arithmetischen Geometrie. Von besonderem Interesse sind Chowgruppen von Nullzykeln, also Punkte bis auf Deformation, da diese oft durch die Rückführung auf Kurven gut berechenbar sind. Chowgruppen lassen sich überdies zu höheren Chowgruppen verallgemeinern. Diese sind ein Modell für die sogenannte motivische Kohomologie, eine universelle Theorie der Invarianten. In unserem Projekt haben wir zuerst mit Johann Haas ein lokal-global Prinzip für höhere Nullzykel auf Varietäten über den rationalen Zahlen bewiesen. Im Anschluss haben wir Chowgruppen über den p-adischen Zahlen studiert. Zentral für dieses Studium war die Gerstenvermutung für Milnor K-Theorie, die wir in diesem Kontext mit Matthew Morrow bewiesen haben. Die Gerstenvermutung stellt einen Zusammenhang zwischen lokalen und globalen Eigenschaften eines Raumes her. Als Anwendung konnten wir zentrale Eigenschaften verschiedenener Modelle der oben genannten motivischen Kohomologie, und in manchen Fällen die kontravariante Funktorialität von Chowgruppen, deduzieren. Hierzu haben wir eine neue Technik, die sogenannte Linkskanerweiterung von glatten Algebren, verwendet. Des Weiteren haben wir cohomologische Chowgruppen und die Gerstenvermutung für noch allgemeinere, in unserem Falle singuläre, d.h. nicht glatte, Räume studiert. Wir haben unter anderem gezeigt, dass diese sich mithilfe von glatten Varietäten berechnen lassen, die Gerstenvermutung auch in einigen weiteren wichtigen Fällen gilt und sich bestimmte Unterräume von nicht glatten Räumen bezüglich des oben erwähnten Begriffs von Äquivalenz in gute Position bringen lassen.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- A local to global principle for higher zero-cycles, Journal of Number Theory, Volume 220, pp. 235-265, 2021
Johann Haas, Morten Lüders
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.jnt.2020.06.011) - Milnor K-theory of p-adic rings
Morten Lüders, Matthew Morrow
- Bloch-Ogus theory for smooth and semi-stable schemes in mixed characteristic
Morten Lüders
- On the relative Gersten conjecture for Milnor K-theory in the smooth case
Morten Lüders
