Hardy Ungleichungen auf Graphen und Dirichleträumen.

• Antragsteller: Professor Dr. Matthias Keller; Professor Dr. Felix Pogorzelski
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 422487706

Im Rahmen dieses Projektes sollen Hardy Ungleichungen auf Graphen und Dirichleträumen studiert werden. Der besondere Fokus liegt dabei nicht nur darauf die optimalen Konstanten zu finden sondern insbesondere auch die optimale Asymptotik des Hardy Gewichtes. Während Hardy Ungleichung ursprünglich im Diskreten formuliert wurde, lag der Schwerpunkt in den letzten Jahrzehnten vornehmlich auf Modellen im Kontinuum. Der Ansatz des Projektes besteht darin offene Fragen im Diskreten anzugehen mit dem letztendlichen Ziele eine vereinheitlichende Behandlung von Diskretem und Kontinuum zu entwickeln. Dieses Vorhaben fügt sich nahtlos in die Entwicklung der Forschung auf diesem Gebiet ein, in dem in den letzten Jahren starke Analogien von diskreten und kontinuierlichen Modellen systematisch im Rahmen von Dirichlet Formen untersucht wurden.Das Projekt besteht aus drei Teilen: (A) Hardy Ungleichungen, Spektraltheorie und verwandte Ungleichungen. (B) Optimale Hardy Gewichte auf Gruppen und speziellen Klassen von Graphen. (C) Kritikalitätstheorie und Hardy Ungleichungen für Dirichlet- und Schrödinger Formen.In Teil (A) geht es um das Studium von optimalen Hardy Ungleichungen für gewichtete Schrödinger Operatoren auf Graphen. Dies betrifft $p$-Hardy Ungleichungen für $p \ge 1$ und ihre Verbindungen zu Rellich Ungleichungen, Agmon Abschätzungen und grundlegenden spektraltheoretischen Fragen im Fall $p=2$. Ziel von Teil (B) ist es, für konkrete Beispiele explizite quantitative Informationen bezüglich Asymptotik und optimaler Konstante des Hardy-Gewichts zu ermitteln. Diese Beispiele beinhalten Teilmengen von $Z^d$, Bäume und gewisse Cayley Graphen. Dabei sollen die Objekte nicht nur auf ihre inhärenten interessanten Strukturen hin untersucht werden, sondern ebenso als Prototypen für weitere Untersuchungen für diskrete Gruppen benutzt werden. Teil (C) strebt eine Vereinheitlichung der Theorie von Kritikalität und optimalen Hardy Ungleichungen im Diskreten und Kontinuierlichen an. Dies soll im Rahmen von Dirichlet und Schrödinger Formen geschehen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Israel
• ausländischer Mitantragsteller: Professor Yehuda Pinchover, Ph.D.