Geometrie von Modulräumen
Final Report Abstract
Die Klassifikation mathematischer Objekte ist ein zentrales Ziel der Mathematik. In der algebraischen Geometrie führt dies in der Regel nicht auf eine endliche Aufzählung von Objekten, sondern zu höher-dimensionalen Familien. In mathematischer Sprache bedeutet dies die Konstruktion von sogenannten Modulräumen, also algebraischen Varietäten, deren Punkte den zu klassifizierenden Objekten entsprechen. Das zentrale Ziel dieses Projektes war es, die Geometrie solcher Modulräume zu verstehen. Im einzelnen wurden Modulräume folgender Klassen von Mannigfaltigkeiten untersucht: Abelschen Varietäten; Kurven; Irreduzible holomorphe symplektische Mannigfaltigkeiten (IHSM); Enriquesflächen. Abelsche Varietäten waren ein zentrales Thema dieses Projekts. Insbesondere bewiesen wir eine Reihe von Aussagen über die Topologie dieser Räume. Wir konnten zeigen, dass sich die Kohomologie geeigneter Kompaktifizierungen stabilisiert. Des weiteren untersuchten wir die Intermediate Jacobians von kubischen Mannigfaltigkeiten der Dimension 3. Dort haben wir ein Theorem über die Klasse des entsprechenden Zykels bewiesen. Des weiteren entwickelten wir eine Theorie der Degenerationen solcher Varietäten. Für IHSM konnten wir ebenfalls Aussagen zur birationalen Geometrie ihrer Modulräume bewiesen. Ferner fanden wir, überraschender Weise, dass manche Klassen dieser Modulräume mehrere Komponenten haben können. Für polarisierte Enriquesflächen konnten wir eine genaue Beschreibung der Modulräume geben und ebenfalls Aussagen zur birationalen Geometrie machen. Internationales Aufsehen hat ein Ergebnis von Tommasi und Petersen über Modulräume von Kurven erregt: sie konnten eine langjährige Vermutung von Faber, die sogenannte Gorensteinvermutung, widerlegen.
Publications
- Complete moduli of cubic threefolds and their intermediate Jacobians
S. Casalaina-Martin, S. Grushevsky, K. Hulek, R. Laza
- Cohomology of the second Voronoi compactification of A4 , Doc. Math. 17 (2012), 195–244
K. Hulek, O. Tommasi
- The class of the locus of intermediate Jacobians of cubic threefolds, Invent. Math. 190 (2012), no. 1, 119– 168
S. Grushevsky, K. Hulek
(See online at https://doi.org/10.1007/s00222-012-0377-4) - Moduli spaces of polarized irreducible symplectic manifolds are not necessarily connected, Ann. Inst. Fourier 64 (2014), no. 1, 189–202
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(See online at https://doi.org/10.5802/aif.2844) - Stable cohomology of spaces of non-singular hypersurfaces, Adv. Math. 265 (2014), 428–440
O. Tommasi
(See online at https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.08.005) - The Gorenstein conjecture fails for the tautological ring of M2,n, Invent. Math. 196 (2014), no. 1, 139–161
D. Petersen, O. Tommasi
(See online at https://doi.org/10.1007/s00222-013-0466-z) - Uniruledness of orthogonal modular varieties, J. Algebraic Geom. 23 (2014), no. 4, 711–725
V. Gritsenko, K. Hulek
(See online at https://doi.org/10.1090/S1056-3911-2014-00632-9 ) - A relative Hilbert-Mumford criterion, Manuscr. Math. 148 (2015), no. 3, 283–301
M.G. Gulbrandsen, L.H. Halle, K. Hulek
(See online at https://doi.org/10.1007/s00229-015-0744-8) - Extending the Prym map to toroidal compactifications of the moduli space of abelian varieties (with an appendix by Mathieu Dutour Sikiric). In: Journal of the European Mathematical Society 19 (2017), Nr. 3, S. 659-723
S. Casalaina-Martin, S. Grushevsky, K. Hulek, R. Laza, Dutour Sikiric, M.
(See online at https://doi.org/10.4171/JEMS/678) - Stable cohomology of the perfect cone toroidal compactification of compactification of Ag. Journal f. d. Reine Angew. Mathematik (Crelles Journal), Band 2018, Heft 741, S. 211–254
S. Grushevsky, K. Hulek, O. Tommasi
(See online at https://doi.org/10.1515/crelle-2015-0067.)
