Reverse Mathematik jenseits der Gödelhierarchie

• Antragsteller: Dr. Sam Sanders
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 423971947

David Hilberts berühmte, 1900 beim Internationalen Mathematikerkongress in Paris vorgestellte, Liste mit 23 offenen Problemen der zeitgenössischen Mathematik umfasst mehrere mathematische Grundlagenprobleme. So betrifft beispielsweise das zweite Problem die Konsistenz der Mathematik, also die Tatsache, dass sich kein Widerspruch beweisen lässt. Von diesem Problem ausgehend entwickelte Hilbert später ein Programm zur Grundlegung der Mathematik, das als Hilbertsches Programm bekannt geworden ist. Allerdings zeigen die Gödelschen Unvollständigkeitssätze, dass sich dieses Programm nicht realisieren lässt. Als positives Ergebnis des Hilbertschen Programms lässt sich Hilberts Konsistenzbegriff anführen. Auf letzterem basiert die Gödelhierarchie, eine lineare Ordnung, die nach verbreiteter Auffassung alle natürlichen und bedeutsamen logischen Systeme erfasst. Meine jüngeren Arbeiten mit Dag Normann stellen diese verbreitete Auffassung infrage: Unsere Arbeiten identifizieren verschiedene grundlegende Sätze der Mathematik (u.a. den Kompaktheitssatz von Heine-Borel für das Einheitsintervalls), die außerhalb der Gödelhierarchie liegen.Das beantragte DFG-Projekt wird eine substanzielle Zahl neuer Theoreme außerhalb der Gödelhierarchie identifizieren und zeigen, dass diese eine parallele Hierarchie bilden. Zu diesem Zweck werde ich folgende Bereiche der reversen Mathematik – ein Grundlagenprogramm zur Identifizierung der minimalen Axiome, die für den Beweis von mathematischen Sätzen benötigt werden – untersuchen und ausarbeiten:(T.1) Reverse Mathematik der Maß- und Integrationstheorie, mit einem Fokus auf das Gauge-Integral.(T.2) Reverse Mathematik der Topologie, mit einem Fokus auf robuste Resultate.(T.3) Neue Klassen von Sätzen in der reversen Mathematik: Uniformität, Splittings und DisjunktionenUnsere bisherigen Ergebnisse deuten sehr stark darauf hin, dass die Themen (T.1) bis (T.3) eine große Sammlung von Sätzen außerhalb der Gödelhierarchie liefern werden. Diese Themen lassen sich in Unterthemen gliedern, die auf natürliche Art an aktuelle Forschung in der reversen Mathematik anknüpfen und diese erweitern. Insbesondere bietet Kohlenbachs reverse Mathematik höherer Stufe einen Rahmen, in den sich (T.1) bis (T.3) einordnen lassen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen