Stabilitätsanalyse von nichtlokalen Operatoren und Anwendungen auf Sprungprozesse

• Antragsteller: Professor Dr. René Leander Schilling
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 426577679

• Erstellungsjahr: 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Aus der allgemeinen Theorie der stochastischen Prozesse weiß man, daß viele Feller bzw. Lévy-Type Sprungprozesse infinitesimale Erzeuger haben, die notwendig nicht-lokale Pseudo- Differentialoperatoren mit nicht-glatten, negativ definiten Symbolen sind. Diese Symbolklassen k¨nnen nicht mit den klassischen Methoden der Analysis behandelt werden. Die Ziele dieses Forschungsvorhabens waren (i) hinreichende Bedingungen an das Symbol zu finden, die die Konstruktion derartiger Prozesse mit (einer geeigneten Variation) der Parametrixmethode erlauben, und (ii) stochastische Eigenschaften der so konstruierten Prozesse zu studieren. Insgesamt wurden 26 wissenschaftliche Veröffentlichungen in Zeitschriften mit Begutachungsprozeß im Rahmen des Projekts gefördert, in denen Aspekte von (i) und (ii) behandelt werden. Die Ergebnisse des Projekts wurden auch in 6 workshops/Konferenzen vorgestellt, die teilweise durch weitere Drittmittel gefördert wurden; hier zeigt sich auch die kollaborative Natur des Forschungsprojekts. Ein erfreulicher Nebeneffekt des nun abgeschlossenen Projekts ist die nachhaltige Intensivierung der Zusammenarbeit zwischen der WUST und der TUD (auch auf institutioneller Ebene), die in weitere gemeinsame Drittmittel-Anträgen eingebracht werden wird.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Construction and heat kernel estimates of generalstable-like Markov processes. Dissertationes Mathematicae, 569, 1-86.
  Knopova, Victoria; Kulik, Alexei & Schilling, René L.
  
• For which functions are are f (xt )−ef (xt ) and g(xt )/eg(xt) martingales?. Theory of Probability and Mathematical Statistics, 105(0), 79-91.
  Kühn, F. & Schilling, R.
  
• Second order elliptic partial differential equations driven by Lévy white noise. Modern Stochastics: Theory and Applications, 179-207.
  Berger, David & Mohamed, Farid
  
• Convolution inequalities for Besov and Triebel–Lizorkin spaces, and applications to convolution semigroups. Studia Mathematica, 262(1), 93-119.
  Kühn, Franziska & Schilling, René L.
  
• Lévy Processes, Generalized Moments and Uniform Integrability. Probability and Mathematical Statistics, 42(1).
  Berger, David; Kühn, Franziska & Schilling, René
  
• Maximum likelihood estimation for discrete exponential families and random graphs. Latin American Journal of Probability and Mathematical Statistics, 19(1), 1045.
  Bogdan, Krzysztof; Bosy, Michał & Skalski, Tomasz
  
• On q-scale functions of spectrally negative Lévy processes. Advances in Applied Probability, 55(1), 56-84.
  Behme, Anita; Oechsler, David & Schilling, René
  
• On the Liouville and strong Liouville properties for a class of non-local operators. MATHEMATICA SCANDINAVICA, 128(2).
  Berger, David & Schilling, René L.
  
• On weak solution of SDE driven by inhomogeneous singular Lévy noise. Transactions of the American Mathematical Society, 375(7), 4567-4618.
  Kulczycki, Tadeusz; Kulik, Alexei & Ryznar, Michał
  
• Singular integrals of subordinators with applications to structural properties of SPDEs. Transactions of the American Mathematical Society.
  Deng, Chang-Song; Schilling, René & Xu, Lihu
  
• Anomalous diffusion limit for a kinetic equation with a thermostatted interface. Probability Theory and Related Fields, 189(1-2), 721-769.
  Bogdan, Krzysztof; Komorowski, Tomasz & Marino, Lorenzo
  
• Approximation of the invariant measure of stable SDEs by an Euler–Maruyama scheme. Stochastic Processes and their Applications, 163, 136-167.
  Chen, Peng; Deng, Chang-Song; Schilling, René L. & Xu, Lihu
  
• Bound States and Heat Kernels for Fractional-Type Schrödinger Operators with Singular Potentials. Communications in Mathematical Physics, 403(2), 795-828.
  Jakubowski, Tomasz; Kaleta, Kamil & Szczypkowski, Karol
  
• Maximal inequalities and some applications. Probability Surveys, 20(none).
  Kühn, Franziska & Schilling, René L.
  
• Quasi-infinite divisibility of a class of distributions with discrete part. Proceedings of the American Mathematical Society.
  Berger, David & Kutlu, Merve
  
• Sharp and plain estimates for Schrödinger perturbation of Gaussian kernel. Journal d'Analyse Mathématique, 152(1), 255-282.
  Jakubowski, Tomasz & Szczypkowski, Karol
  
• Small time chaos approximations for heat kernels of multidimensional diffusions. BIT Numerical Mathematics, 63(1).
  Ivanenko, D.; Kohatsu-Higa, A. & Kulik, A.
  
• The Fractional Laplacian with Reflections. Potential Analysis, 61(2), 317-345.
  Bogdan, Krzysztof & Kunze, Markus
  
• An extension of the Liouville theorem for Fourier multipliers to sub-exponentially growing solutions. Journal of Spectral Theory, 14(2), 665-695.
  Berger, David; Schilling, René L.; Shargorodsky, Eugene & Sharia, Teo
  
• Drift reduction method for SDEs driven by heterogeneous singular Lévy noise. Bernoulli, 30(4).
  Kulczycki, Tadeusz; Kulyk, Oleksii & Ryznar, Michał
  
• Relativistic stable operators with critical potentials. Documenta Mathematica, 29(1), 209-245.
  Jakubowski, Tomasz; Kaleta, Kamil & Szczypkowski, Karol
  
• Self-similar solution for fractional Laplacian in cones. Electronic Journal of Probability, 29(none).
  Bogdan, Krzysztof; Knosalla, Piotr; Leżaj, Łukasz & Pilarczyk, Dominika
  
• The Liouville theorem for a class of Fourier multipliers and its connection to coupling. Bulletin of the London Mathematical Society, 56(7), 2374-2394.
  Berger, David; Schilling, René L. & Shargorodsky, Eugene