Homogenisierung und elliptische Approximation von zufälligen Funktionalen mit freien Unstetigkeitsstellen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Motiviert durch grundlegende Fragen in der variationellen Theorie von (statischem) Bruch, war das wesentliche Ziel dieses Forschungsprojekts, das großskalige Verhalten von zufälligen, elastischen Verbundstoffen zu untersuchen, die Brüche ausbilden können. Vom mathematischen Standpunk bedeutet dies, eine stochastische Homogenisierungstheorie für skalenabhängige Energiefunktionale mit freien Unstetigkeiten zu entwickeln. Dieses Projekt hatte zum Ziel, eine umfassende qualitative Theorie der stochastischen Homogenisierung für Funktionale mit freien Unstetigkeitsstellen zu entwickeln. Dies wurde durch die Verbindung zweier komplementarer Zugänge erreicht, einem "direkten” Zugang und einem "indirekten” Approximationszugang. Der direkte Zugang wird darin bestehen, die SBV-Theorie auf den BV Fall und den Fall degenerierter Koeffizienten zu erweitern. Letzterer ist beispielsweise relevant in der Untersuchung von Bruch in perforierten Materialien. Der Approximationszugang hingegen wir darin bestehen, geeignete Phasenfeld-Approximationen der zufälligen Funktionale mit freien Unstetigkeitsstellen vorzuschlagen, die unter anderem reguläre Approximationen der homogenisierten Koeffizienten liefern. Die Fragestellungen wurden mit Hilfe von fortgeschrittenen Methoden der Variationsrechnung, der geometrischen Maßtheorie und der Ergodentheorie behandelt.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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A global method for deterministic and stochastic homogenisation in BV. Annals of PDE, 8(1).
Cagnetti, Filippo; Dal, Maso Gianni; Scardia, Lucia & Zeppieri, Caterina Ida
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Interaction Between Oscillations and Singular Perturbations in a One-Dimensional Phase-Field Model. Research in Mathematics of Materials Science, 3–31.
Bach, Annika; Esposito, Teresa; Marziani, Roberta & Zeppieri, Caterina Ida
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Gradient Damage Models for Heterogeneous Materials. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 55(4), 3567-3601.
Bach, Annika; Esposito, Teresa; Marziani, Roberta & Zeppieri, Caterina Ida
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Stochastic homogenisation of free-discontinuity functionals in randomly perforated domains. Advances in Calculus of Variations, 17(3), 643-671.
Pellet, Xavier; Scardia, Lucia & Zeppieri, Caterina Ida
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Γ-convergence and stochastic homogenisation of phase-transition functionals. ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 29(2023), 44.
Marziani, Roberta
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Γ-convergence and stochastic homogenisation of singularly-perturbed elliptic functionals. Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 62(7).
Bach, Annika; Marziani, Roberta & Zeppieri, Caterina Ida
