Verschmierte Grenzwertsätze

• Antragsteller: Professor Dr. Stephan Huckemann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 427894948

Der wohlbekannte zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Verteilung der Streuung von Mittelwerten unabhängiger und gleichverteilter zufälliger Vektoren um ihren Erwartungswert, nach Reskalierung durch die Wurzel der Stichprobenanzahl, asymptotisch normalverteilt ist, wenn zweite Momente existieren. Dieser Sachverhalt ist Grundlage und Ausgangspunkt zahlreicher schließender statistischer Verfahren und aus der angewandten Statistik nicht wegzudenken. Getriebendurch Anwendungen in der modernen Mustererkennung, Bildverarbeitung und computational Biology richtet sich seit längerer Zeit die Aufmerksamkeit statistischer Theoriebildung nun auch auf nicht-vektorwertige Daten. In den Anfängen handelte es sich z.B. um zufällige Richtungen auf dem Kreis oder der Sphäre (etwa in Meteorologie und Astronomie), um zufällige Rotationen (etwa in Robotik und Biomechanik) oder um zufällige Elemente in komplexen projektiven Räumen (statistische Shape Analysis zweidimensionaler Formen).Um die Jahrtausendwende gelang es zwei Arbeitsgruppen (Hendriks and Landsman (1998); Bhattacharya and Patrangenaru (2005)) dann mit differentialgeometrischen Methoden auf Mannigfaltigkeiten analoge Grenzwertsätze unter geeigneten, teilweise sehr technischen Bedingungen in lokale Karten zu übertragen und so, im Rahmen der Gültigkeit der technischen Bedingungen, inferentielle Methoden auch für nichteuklidische Daten zur Verfügung zu stellen. Für sogenannte intrinsische Mittelwerte auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten – das sind Minimierer einer sogenannten Fréchetfunktion (s.u.), die bereits die Existenz zweiter Momente voraussetzt – handelt es sich im Wesentlichen um drei Bedingungen:(a) Eindeutigkeit des Populationsmittelwerts,(b) Invertierbarkeit der Hess’schen der Populationsfréchetfunktion am Populationsmittelwert(c) und Konvergenz des empirischen Prozesses der Hess’schen der empirischen Fréchetfunktion indiziert in einer zufälligen Folge, die gegen den Populationsmittelwert konvergiert.Zusammen mit dem Kooperationspartner T. Hotz (Ilmenau) zeigte der Antragsteller in einerVorarbeit (Hotz and Huckemann (2015)) für den Kreis Beispiele auf, in denen unter Bedingung (a) die Bedingungen (b) und (c) nicht erfüllt sind. Damit wird die Asymptotik gegenüber dem zentralen Grenzwertsatzes verlangsamt (Abbildung 1 zeigt die zugrundeliegende Intuition) und es gelten nunmehr smeary (verschmierte) Grenzwertsätze. Im beantragten Vorhaben soll eine Systematik dieser neuartigen Smeary Limit Theorems vorangetrieben werden und darauf aufbauend neuartige Verfahren der schließenden Statistik für nichteuklidische Daten entwickelt werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen