The Arithmetic Fundamental Lemma for the Drinfeld space
Final Report Abstract
Während meines Aufenthaltes am MIT erzielte ich Ergebnisse in den folgenden drei Projekten. (1) Ströme auf dem Lubin-Tate Raum. Dieses Projekt entspricht der zweiten Aufgabenstellung des Projektantrags. Ziel war es, bestimmte Schnittzahlen für formale Schemata, die beim linearen Arithmetischen Fundamentalen Lemma (AFL) auftreten, nach Übergang zur generischen Faser zu verstehen. Meine Ergebnisse betreffen zunächst den Formalismus der Differentialformen in der nicht-archimedischen Geometrie. Ausgehend von den Theorien Chambert-Loir-Ducros und Gubler-Künnemanns erweitere ich diesen geeignet. Dann zeige ich, dass in bestimmten Situation ein formales Modell für einen Zykel auf einem nichtarchimedischen Raum eine Greensche Form für den Zykel defniert. Schnittzahlen der formalen Modelle können (unter Annahmen) durch die Greenschen Ströme ausgedrückt werden. Diese Aussagen wende ich zuletzt auf das Schnittproblem des linearen AFL an und gebe einen neuen Beweis der Schnittzahlformel von Q. Li. (2) Unitäres AFL im Allgemeinen. Dies ist gemeinsame Arbeit mit meinem Gastgeber W. Zhang. Im März 2019 bewies er das unitäre AFL über den p-adischen Zahlen Qp. In unserem Projekt verallgemeinern wir seine Beweisidee auf den Fall eines beliebigen Grundkörpers. Die entscheidende Neuerung hierfür ist der Beweis einer Modularitätsaussage für erzeugende Reihen von KR-Divisoren auf unitären Shimura- Varietäten über total reellen Grundkörpern. Diese Aussage war zuvor nur über Q bekannt, was die Einschränkung auf Qp erklärt. (3) Lokale Konstanz von Schnittzahlen. Einen kleinen Teil der Förderzeit verwendete ich auf den Abschluss meiner Arbeit zur lokalen Konstanz von Schnittzahlen. Ihr Hauptergebnis ist, dass Schnittzahlen formaler Schemata in stetigen proendlichen Familien lokal konstant sind. Die Aussage verallgemeinert die Vorergebnisse und spielt auch in unserem neuen Beweis eine Rolle. Außerdem ergaben sich während des Aufenthalts eine Kollaboration mit Q. Li und W. Zhang zu sog. höheren AFLs für die GL2 im Funktionenkörperfall 1 und ein vielversprechendes Projekt zum AFL im orthogonalen Setting mit R. Krishna. Die Ergebnisse beider Projekte sind noch vorläufig.
Publications
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Local Constancy of Intersection Numbers
A. Mihatsch
