Die Cassels-Tate-Paarung für Jacobische Varietäten
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Dieses Projekt zielt auf die Verbesserung und Erweiterung von Methoden zur Lösung von Gleichungen der Form y2 = f (x) in ganzen oder rationalen Zahlen, wobei f ein Polynom vom Grad mindestens 5 mit rationalen Koeffizienten und ohne mehrfache Nullstellen ist. Dies ist äquivalent zur Bestimmung der ganzzahligen oder rationalen Punkte auf der durch die Gleichung definierten hyperelliptischen Kurve. Ein Ergebnis von Faltings besagt, dass eine solche Kurve nur endlich viele rationale Punkte haben kann. Es ist eine interessante offene Frage, ob sich diese endliche Menge algorithmisch bestimmen lässt. Es gibt verschiedene Methoden, die in der Praxis häufig funktionieren. Die meisten dieser Methoden verwenden die Einbettung der Kurve in ihre Jacobische Varietät. Diese ist eine abelsche Varietät, trägt also die Struktur einer Gruppe; insbesondere bilden die rationalen Punkte der Jacobischen eine Gruppe, die sogenannte Mordell-Weil-Gruppe, von der man weiß, dass sie endlich erzeugt ist. Die Kenntis ihres Rangs ist für die Anwendungen entscheidend. Um den Rang zu bestimmen, können wir einerseits nach Punkten auf der Jacobischen suchen und prüfen, inwieweit diese Punkte unabhängig sind. Dies liefert eine untere Schranke für den Rang. Wir erhalten eine obere Schranke, indem wir sogenannte Selmer-Gruppen berechnen. Das sind endliche abelsche Gruppen, in die sich die Mordell-Weil-Gruppe abbildet; daher liefert die Ordnung der Selmer-Gruppen eine Schranke für den Rang. Diese Schranke ist aber nicht immer scharf; daher ist es wichtig, sie falls möglich verbessern zu können. Dies kann dadurch geschehen, dass man den Kern der sogenannten Cassels-Tate-Paarung bestimmt; das ist eine bilineare Abbildung auf der Selmer-Gruppe. Dieser Kern enthält das Bild der Mordell-Weil-Gruppe. Ist die Paarung nichttrivial, dann bekommen wir auf diese Weise eine bessere Schranke. Um den Kern zu bestimmen, müssen wir die Paarung auf Paaren von Erzeugern der Selmer-Gruppe berechnen. Dieses Projekt hat das Ziel, einen praktikablen Algorithmus für die Berechnung der Paarung zu entwickeln. Mithilfe eines solchen Algorithmus können bessere Schranken für den Rang gefunden werden, was es ermöglicht, den Rang in vielen Fällen zu bestimmen, in denen das bisher nicht möglich ist. Das hat dann zum Beispiel Anwendungen auf die Bestimmung der rationalen Punkte der Kurve.
