Spektrale Korrespondenzen für negativ gekrümmte Riemannsche lokal-symmetrische Räume

• Antragsteller: Professor Dr. Joachim Hilgert
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 432944415

Das zentral Ziel des Vorhabens ist die Beschreibung der Pollicott-Ruelle-Resonanzen lokal-symmetrischer Räume negativer Krümmung mithilfe einer zu etablierenden Korrespondenz zwischen diesen Resonanzen und Quantenresonanzen. Es gibt enge Zusammenhänge zwischen den dynamischen Eigenschaften eines freien Teilchens auf negativ gekrümmten kompakten lokalsymmetrischen Räumen in den Beschreibungen der klassischen und der Quantenmechanik. Sie lassen sich in einer Korrespondenzabbildung fassen, die zwischen sogenannten resonanten Zuständen des klassischen und des Quantensystems zu gegebenen Spektralparametern vermittelt. Für Flächen ist diese Korrespondenzabbildung sehr gut verstanden, in höherer Dimension gibt es mehrere Hindernisse für die Übertragung der Resultate für Flächen. Eines dieser Hindernisse ist, dass die Poisson-Transformation, die vom Spektralparameter abhängt und in allen Beschreibungen der zu untersuchenden Zusammenhänge eine wichtige Rolle spielt, nur für generische Parameter umkehrbar ist. Im zweidimensionalen Fall konnte man die Korrespondenzen auch für die Ausnahmeparameter etablieren, weil man in diesem Fall für beide Seiten der Korrespondenz so explizite Beschreibungen hatte, dass man die Umkehrbarkeit der Korrespondenzabbildung auch ohne die Poisson-Transformation nachweisen konnte. In diesem Projekt sollen die Eigenschaften der Korrespondenzabbildungen für die exzeptionellen Spektralparameter im Falle allgemeiner negativ gekrümmter lokalsymmetrischer Räume studiert werden. Insbesondere sucht man nach topologischen Informationen, die in den Ausnahmeparametern kodiert sind, und welche Rolle sie in der Beschreibung des Divisors der Selberg-Zetafunktion spielen. Man kann darauf hoffen, so Hinweise auf die topologische Information spektraler Daten auch für allgemeine negativ gekrümmte Riemannsche Mannigfaltigkeiten ohne zusätzliche Symmetrieeigenschaften zu erhalten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Frankreich, Luxemburg
• Mitverantwortliche: Professor Dr. Jan Frahm; Professor Dr. Tobias Weich
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Professor Dr. Colin Guillarmou; Professor Dr. Martin Olbrich; Professorin Dr. Angela Pasquale