Numerische Methoden höherer Ordnung für akustische Streuungsprobleme mit lokal gestörten periodischen Strukturen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Probleme der Streuung zeitharmonischer Wellen in (lokal gestörten) biperiodischen Strukturen sind wichtige Themen in Anwendungsbereichen, z.B. der Optik oder photonischen Kristallen. Aus mathematischer Sicht wird das Problem durch die Helmholtz-Gleichung in einem Halbraum über einer beschränkten biperiodischen Oberfläche (von der angenommen wird, dass sie in x1- und x2-Richtung periodisch ist) in einem dreidimensionalen Raum modelliert, mit einer Randbedingung auf der biperiodischen Oberfläche und einer geeigneten Abstrahlungsbedingung in der x3-Richtung, die die Wohlgestelltheit des Problems garantiert. Die numerische Simulation dieses Problems ist besonders interessant, aber aufgrund des unbeschränkten Gebiets ist sie auch sehr herausfordernd. Um das Problem mit der Finite-Elemente-Methode zu lösen, müssen wir das Streuproblem durch ein Problem approximieren, das auf einem beschränkten Gebiet gegeben ist. Mit einer geeigneten Abschneidetechnik, z.B. einer transparenten Randbedingung (TBC) oder einer Perfectly Matched Layer (PML), reduzieren wir zunächst das unbegrenzte Gebiet auf einen biperiodischen Wellenleiter, der in der x3-Richtung beschränkt ist. Anschließend wird das Problem mit der Floquet-Bloch-Transformation als eine äquivalente Familie quasiperiodischer Probleme formuliert. Diese Probleme sind geeignet, um durch die Finite-Elemente-Methode gelöst zu werden. Bei einer TBC ergibt sich aufgrund der Rayleigh-Anomalien ein komplexes singuläres Integral in einem Quadrat. Um das Integral numerisch zu approximieren, haben wir eine maßgeschneiderte Quadraturmethode höherer Ordnung entwickelt. Die PML hingegen ist nicht mehr exakt, beseitigt aber die Singularitäten, die bei der Anwendung der TBC vorhanden sind. Da es sich jedoch um eine Näherung handelt, haben wir auch an Fehlerschätzungen gearbeitet, um die Konvergenz dieser Methode sicherzustellen. Abschließend wurde die Methode auf der Grundlage einer Gebietstransformation auch auf lokal gestörte periodische Oberflächen erweitert. Auf der Grundlage des Schur-Komplements haben wir eine effiziente numerische Methode entwickelt. Wir haben auch zahlreiche numerische Beispiele präsentiert, um unsere theoretischen Ergebnisse zu veranschaulichen.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Numerical methods for scattering problems in periodic waveguides. Numerische Mathematik, 148(4), 959-996.
Zhang, Ruming
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Spectrum Decomposition of Translation Operators in Periodic Waveguide. SIAM Journal on Applied Mathematics, 81(1), 233-257.
Zhang, Ruming
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Exponential Convergence of Perfectly Matched Layers for Scattering Problems with Periodic Surfaces. SIAM Journal on Numerical Analysis, 60(2), 804-823.
Zhang, Ruming
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Does PML exponentially absorb outgoing waves scattering from a periodic surface?
W. Lu, K. Shen & R. Zhang
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Higher-Order Convergence of Perfectly Matched Layers in Three-Dimensional Biperiodic Surface Scattering Problems. SIAM Journal on Numerical Analysis, 61(6), 2917-2939.
Zhang, Ruming
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A high‐order numerical method for solving non‐periodic scattering problems in three‐dimensional bi‐periodic structures. ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 104(9).
Arens, Tilo; Shafieeabyaneh, Nasim & Zhang, Ruming
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The PML-method for a scattering problem for a local perturbation of an open periodic waveguide. Numerische Mathematik, 157(2), 717-748.
Kirsch, Andreas & Zhang, Ruming
