Konstruktion einer besten Basis und Vergleich von Ansatzfunktionen für schlecht gestellte inverse Probleme in den Geowissenschaften - untersucht am Beispiel der seismischen Tomographie in globaler Skala und der Modellierung des Gravitationsfelds

• Antragsteller: Professor Dr. Volker Michel
• Fachliche Zuordnung: Physik des Erdkörpers ; Geodäsie, Photogrammetrie, Fernerkundung, Geoinformatik, Kartographie ; Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 437390524

Die Wahl von Basisfunktionen kann erheblich das Ergebnis eines inversen Problems beeinflussen. In Anbetracht der heutigen Ansprüche an die Genauigkeit von Modellen stellt sich daher die Frage, wie gewonnene Resultate gesichert bzw. verbessert werden können, indem die verwendeten Basisfunktionen geprüft und bei Bedarf korrigiert werden. Fragen sind hierbei: Können einzelne Strukturen in der Darstellung beispielsweise eines seismischen Geschwindigkeitsfelds oder des Gravitationsfelds als Artefakte des verwendeten numerischen Verfahrens auftreten? Inwieweit sind Daten sensibel für einzelne regionale Änderungen der Lösung? Wie können umgekehrt lokale Veränderungen in der Erde oder an der Erdoberfläche bzw. bekannte lokale Fehler im bisherigen Modell in einem Modell berücksichtigt werden, ohne hierbei andernorts das Modell zu verschlechtern? Letzteres scheint mit lokalen Basisfunktionen (wie radiale Basisfunktionen) besser zu gehen als mit globalen Basisfunktionen (wie Kugelfunktionen).Der Antragsteller hat in den vergangenen Jahren zusammen mit seiner Arbeitsgruppe verschiedene Algorithmen (der Regularized Functional Matching Pursuit, RFMP, und seine Verbesserungen) entwickelt, die in der Lage sind, zu inversen Problemen eine Art beste Basis iterativ zu konstruieren. Die Verfahren wurden hierbei speziell für Szenarien auf der Sphäre oder der Kugel ausgearbeitet. Die Anwendbarkeit auf verschiedene Probleme wurde bereits demonstriert. Jedoch gibt es noch Grenzen. Z.B. können große Datensätze, wie sie für das Gravitationsfeld üblich sind, noch nicht behandelt werden und die Laufzeittomographie erlaubt keine effizienten Formeln zur Vorwärtsrechnung. Im Rahmen des Projekts sollen diese Algorithmen weiterentwickelt werden, um sie besser auf realistische Problemstellungen in den Geowissenschaften anwenden zu können, speziell die globale seismische Tomographie und die hochauflösende Modellierung des Gravitationspotentials. Es werden hierbei vor allem neue Erkenntnisse für diese beiden praktischen Probleme erwartet. Bei dem ersten stellt sich z.B. die oben genannte Frage nach möglichen Artefakten in Geschwindigkeitsmodellen. RFMP und seine Varianten liefern die Möglichkeit, bisher manuell durchgeführte Multi-Skalen-Adaptionen von Gitterstrukturen zu automatisieren. Es ist hierdurch eine Verbesserung der Genauigkeit des berechneten Modells zu erwarten. Außerdem kann die Menge der Ansatzfunktionen (die man ein Dictionary nennt) variiert werden, um zu testen, wie stabil einzelne Aspekte eines Modells sind. So können Artefakte durch die Wahl der Basisfunktionen besser identifiziert werden. Im Falle der Gravitationsfeldmodellierung sollen effiziente Wege gefunden werden, um auch in hochauflösenden Modellen lokale Anomalien durch die Wahl optimaler zusätzlicher Basisfunktionen (Splines, Wavelets, Slepians) so lokal konzentriert und genau wie möglich zu approximieren. Hierfür müssen neue innovative Wege zur Verbesserung vorliegender Algorithmen gefunden werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Kooperationspartnerin: Professorin Dr. Karin Sigloch