Abstieg algebraischer Kurven
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das Projekt liefert Algorithmen, die bestimmen, welche algebraischen Kurven sich durch Gleichungen über kleinen Körpern, wie zum Beispiel dem Körper der rationalen Zahlen, beschreiben lassen. In diesem Fall lassen sich die arithmetischen Eigenschaften einer solchen Kurve sehr vollständig beschreiben, zum Beispiel mithilfe der L-functions and Modular Forms Database (oder LMFDB), die solche Beschreibungen für viele algebraische Kurven über kleinen Körpern öffentlich zugänglich gemacht hat. Somit kann unter der Voraussetzung, dass die Frage zum Abstieg einer gegebenen Kurve eine positive Antwort hat, die Arithmetik dieser Kurve zur vollen Zufriedenheit studiert werden. Das Hauptergebnis des Projekts ist eine Studie über das Abstiegsproblem für die Klasse der superelliptischen Kurven. Diese Studie liefert eine genaue Bedingung, unter der man überprüfen kann, ob eine gegebene Kurve absteigt oder nicht. Ist dies der Fall, so wird zusätzlich angegeben, wie sich Gleichungen für diese Kurve über dem kleineren Körper explizit bestimmen lassen. Alle diese Ergebnisse wurden in Computeralgebrasysteme implementiert.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Galois descent of superelliptic curves, PhD thesis at Ulm University
Robert Slob
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Functionalities for genus 2 and 3 curves. Proceedings of MEGA 2021
Reynald Lercier, Christophe Ritzenthaler & Jeroen Sijsling
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Isogenous hyperelliptic and non-hyperelliptic Jacobians with maximal complex multiplication. Mathematics of Computation, 92(339), 349-383.
Dina, Bogdan; Ionica, Sorina & Sijsling, Jeroen
