Variationelle Modellierung von Sprödbruch in mikrostrukturierten Werkstoffen mit hohem Phasenkontrast: Mathematische Analysis und numerische Mechanik

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professor Dr. Matti Schneider; Professorin Dr. Caterina Ida Zeppieri
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Mechanik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 440998847

Aufbauend auf den Arbeiten von Francfort-Marigo haben sich Funktionale mit freien Unstetigkeitsstellen vom Mumford-Shah-Typ als vereinfachte, jedoch essentielle, mathematische Modelle zur Beschreibung von Sprödbruch etabliert. Für Materialien endlichen Kontrasts wurde eine Homogenisierungstheorie für spröde Energien bereits bewiesen, und ermöglicht einen wohl-definierten Skalenübergang für Sprödbruch. Aktuelle Arbeiten konstruieren explizite Beispiele für Mikrostrukturen mit hohem Kontrast, deren Effektiv-Verhalten viel komplexer ist als die vergleichsweise einfachen Mumford-Shah-Funktionale der Konstituenten. Insbesondere lassen sich Kohäsivzonen- und Schädigungsmodelle durch Homogenisierung ausschließlich spröder Phasen erhalten. In diesem Kontext entspringt der Übergang von einfachem zu komplexem Materialverhalten einer Interaktion von Volumen- und Oberflächenenergien, ausgelöst durch die starke Degeneriertheit der Funktionale. Vor dem Hintergrund, die mathematischen Grundlagen mechanischen Materialversagens zu verstehen und passende Berechnungsmethoden zu entwickeln, besteht das übergeordnete Ziel des beantragten Vorhabens darin, alle möglichen Materialmodelle zu ermitteln, welche durch Homogenisierung spröd brechender Materialien entstehen. Aus mathematischer Sicht soll also die Schließung unter Gamma-Konvergenz von Funktionalen mit freier Oberfläche und hohem Kontrast bestimmt werden. Im Kontext der Elastizität hat diese Fragestellung eine lange Geschichte. Sie ist jedoch weniger gut verstanden im Kontext der Bruchmechanik. Für den analytischen Teil ist die Herleitung neuartiger Homogenisierungformeln vorgesehen, welche es erlauben, die mikroskopische Wechselwirkung von Volumen- und Oberflächentermen zu "quantifizieren". Zudem soll der Einfluss solcher Konstituenten auf die Anisotropie des Effektivverhaltens untersucht werden, indem explizite Mikrostrukturen konstruiert werden sollen, deren Effektivverhalten nur Risse in bestimmte Richtungen erlaubt. Die mathematischen Werkzeuge umfassen Variationsrechnung und geometrische Maßtheorie. Im Rahmen des Projekts werden neue ad-hoc Fortsetzungs- und Approximationsresultate für SBV-Funktionen gezeigt werden, welche von eigenständigem mathematischen Interesse sind, und sich auf eine ganze Klasse Skalen-abhängiger Probleme mit freien Unstetigkeitsstellen anwenden lassen. Der numerische Mechanik-Teil baut auf der mathematischen Theorie auf, und komplementiert diese, sobald eine analytische Behandlung an Grenzen stößt. Sowohl FFT-basierte als auch adaptive numerische Methoden sind vorgesehen, um die neuartigen Zellformeln numerisch auswerten zu können. Die identifizierten Schädigungs- und Kohäsivzonenmodelle sollen auf Bauteilskala-Simulationen übertragen werden. Die Ergebnisse des Vorhabens werden das Verständnis des Materialversagens im Allgemeinen voranbringen und numerische Verfahren entwickeln, anisotrope Materialmodelle zur Anwendung auf Probleme industrieller Komplexität ermöglichen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2256: Variationelle Methoden zur Vorhersage komplexer Phänomene in Strukturen und Materialien der Ingenieurwissenschaften