L2-Kohomologie aus der proendlichen Perspektive

• Antragsteller: Professor Dr. Holger Kammeyer; Dr. Steffen Kionke; Professor Dr. Roman Sauer; Professor Dr. Thomas Schick
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 441848266

Welche Eigenschaften einer residuell endlichen Gruppe lassen sich allein mithilfe ihre endlichen Faktorgruppen erkennen? Diese oft diskutierte Frage ist insbesondere auch für Gitter in einfachen Lie Gruppen interessant. Im hier beantragten Projekt wollen wir uns mit der Frage befassen, inwiefern die L2-Kohomologie von Gruppen, und insbesondere von Gittern, durch die proendliche Vervollständigung bestimmt ist. Diese Vervollständigungen werden weiter als dynamische Systeme versehen mit der Translationswirkung untersucht. Als geometrische Anwendungen lassen sich damit Beispiele finden, in denen das Vorzeichen der Euler Charakteristik oder das Volumen eines lokal-symmetrischen Raumes allein aus der Kenntnis der Decktransformationsgruppen aller endlichen Überlagerungen bestimmt werden kann. Wir werden algebraische Approximationsphänomene von L2-Kohomologie studieren und damit neue Einsichten in die algebraische Eigenwerteigenschaft gewinnen. Ein Ziel ist es, die Atiyah-Vermutung für Gruppen mit links-invarianter Ordnung zu beweisen.Unser Ansatz beruht auf Starrheitseigenschaften von Gittern. Im Laufe dieses Projektes soll auch untersucht werden ob sich Ergebnisse für Gitter auf größere Klassen von residuell endlichen Gruppen ausdehnen lassen. So ist beispielsweise L2-Azyklizität eine proendliche Invariante von Gittern höheren Ranges, aber es ist unbekannt ob dies auch auf beliebige residuell endliche Gruppen zutrifft. Diese Untersuchungen und die Versuche Gegenbeispiele zu finden, sind eng verknüpft mit gruppentheoretischen Problemen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen