Cluster-Polylogarithmen, Grassmannsche Polylogarithmen und die Vermutung von Zagier über zeta_F(n), n> = 5

• Antragsteller: Dr. Steven Charlton
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 442093436

Zagiers zentrale Polylogarithmus-Vermutung setzt spezielle Werte gewisser Zetafunktionen (welche die Riemannsche Zetafunktion verallgemeinern) mit Werten sogenannter Polylogarithmen (Verallgemeinerungen des Logarithmus) in Zusammenhang und verbindet darüber hinaus Zahlentheorie mit algebraischer K-Theorie.Goncharov hat eine Strategie für einen möglichen Beweis in höherem Gewicht vorgeschlagen. Insbesondere wird dabei der sogenannte Grassmannsche m-Logarithmus (ein multipler Polylog in Gewicht und Tiefe m) auf den klassischen Polylog (in Tiefe 1) zurückgeführt. Da über die Eigenschaften multipler Polylogs und der kombinatorischen Schwierigkeiten in höherem Gewicht nur wenig bekannt ist, konnte die Vermutung bislang nur für Gewicht <= 4 bewiesen werden. Erst vor kurzem gelang Goncharov und Rudenko ein Durchbruch, der es ihnen erlaubte, den Gewicht-4-Fall zu lösen. Sie haben einen tiefliegenden Zusammenhang zwischen Polylogs und Cluster-Varietäten entdeckt, der das Verständnis von multiplen Polylogs in Gewicht 4 entscheidend verbessert.Fortschritt im Hinblick auf Zagiers Vermutung für höheres m ist untrennbar mit dem Verständnis von Polylogs in höherem Gewicht verbunden. Dies würde reinen MathematikerInnen zugute kommen, die über Zahlentheorie oder algebraische K-Theorie forschen, sowie theoretischen PhysikerInnen, die bei ihren Berechnungen von Streuamplituden oft Polylogs benötigen.Die Hauptziele des Projekts sind:1. Definiere eine Familie von Cluster-Polylog-Funktionen, deren Cobrackets eine gewisse rekursive kombinatorische Formel erfüllen. Diese Funktionen sollten Goncharov-Rudenkos Funktion L_4^1 verallgemeinern.2. Gewinne eine gute Einsicht in die geometrischen Identitäten der Cluster-Polylogs. Sie sollten Goncharov-Rudenkos Gleichung Q4 verallgemeinern und bessere Kandidaten für unsere Q5 und Q6 liefern.3. Bestimme einen besseren Ausdruck für das 4-Verhältnis durch eine Reduktion des Grassmannschen 4-Log mit Hilfe geometrischer Identitäten. Eine solche Reduktion ist für höheres Gewicht, wo explizite Rechnungen nicht mehr praktikabel sind, unabdingbar.4. Reduziere multiple Polylogs in Gewicht und Tiefe n zu solchen von Tiefe n/2 mit Hilfe der Cluster-Polylogs. Dies sollte eine wichtige Vermutung bestätigen.5. Finde einen Ausdruck des Grassmannschen m-Log und seines Co-Randes mit Hilfe von Cluster-Polylogs. Dieser Ausdruck sollte dann eine Reduktion mit Hilfe von geometrischen Identitäten erlauben, um schliesslich das Analogon des Doppelverhältnisses in Gewicht m zu erhalten.6. Konstruiere ein kombinatorisches Modell der motivischen Lie-Coalgebra mittels Cluster-Funktionen und beweise, dass es die erwartete Struktur hat. In Gewicht 5 sollte dies explizit möglich sein, indem man Q5 passend degeneriert. Dies sollte den entscheidenden kombinatorischen Schritt für einen Beweis der Zagier-Vermutung in Gewicht 5 liefern.Ergänzend: die Verbesserung der Computer-Symbol-Berechnung, um weiterreichende Experimente zu ermöglichen

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen