Arithmetik und Reduktion ein- und höherdimensionaler Abelscher Varietäten über Funktionenkörpern

• Antragsteller: Dr. Otto Overkamp
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 442615504

Dieses Forschungsprojekt beschäftigt sich mit der Arithmetik elliptischer Kurven und höherdimensionaler Abelscher Varietäten. Diese sind geometrische Objekte, die seit langem studiert werden, unter anderem weil sie ein Bindeglied zwischen Arithmetik und Geometrie darstellen. Im vorliegenden Projekt sind alle Abelschen Varietäten über diskret bewerteten Körpern bzw. Funktionenkörpern in positiver Charakteristik definiert. Das Forschungsvorhaben ist in drei Teilprojekte gegliedert, die jeweils einen Aspekt der Arithmetik bzw. des Reduktionsverhaltens dieser Objekte betrachten.Das erste Teilprojekt beschäftigt sich mit folgender Situation: Ist C eine glatte, projektive und geometrische zusammenhängende Kurve über einem nicht perfekten Körper k von Charakteristik >3, und ist E eine über dem Funktionenkörper von C definierte elliptische Kurve, so können wir das minimale eigentliche reguläre Modell X von E über C betrachten. Dann ist X eine reguläre Fläche über k. Ziel des Projektes ist der Beweis einer Vermutung, die die Glattheit der Fläche X über k charakterisiert. Neben neuen Erkenntnissen über den klassischen Algorithmus von Tate wäre es ein Erfolg, wenn auch neue Ergebnisse über das Verhalten von Néron-Modellen unter Basiswechsel bewiesen werden könnten.Das zweite Teilprojekt beschäftigt sich ebenfalls mit elliptischen Flächen X; diesmal definiert über einem diskret bewerteten Körper K mit algebraisch abgeschlossenem Restklassenkörper. Es ist bereits ein hinreichendes Kriterium bekannt, das nur in Abhängigkeit der Galoisdarstellungen auf der étalen Kohomologie von X garantiert, daß X bis auf Modifikation logarithmisch gute Reduktion besitzt. Solche Verallgemeinerungen des Néron-Ogg-Shafarevich-Kriteriums auf die logarithmische Geometrie sind recht neu und es ist noch nicht bekannt, ob dieses Kriterium notwendig ist. Ziel dieses Projektes ist der Beweis einer genauen kohomologischen Charakterisierung elliptischer Flächen mit logarithmisch guter Reduktion. Für bestimmte verwandte Flächen (Kummerflächen) gibt es bereits eine genaue Vermutung, die man wohl mit existierenden Methoden wird beweisen können.Das dritte Teilprojekt beschäftigt sich mit folgender Situation: Sei wieder C eine glatte, projektive und geometrisch zusammenhängende Kurve, diesmal über einem endlichen Körper k von Charakteristik p. Sei A eine über dem Funktionenkörper von C definierte Abelsche Varietät. Dann betrachten wir die Gruppe A(K^sep), wobei K^sep einen separablen Abschluß von K bezeichnet. Anders als bei der Gruppe A(K^alg) von Punkten von A in einem algebraischen Abschluß von K ist das Verhalten der Gruppe A(K^sep) bislang nicht vollständig verstanden worden. Vor kurzem hat Rössler gezeigt, daß die p-Potenz-Torsionsuntergruppe von A(K^sep) nur unendlich sein kann, wenn das Néron-Modell von A über C ganz bestimmte Eigenschaften besitzt. In diesem Projekt sollen diese Eigenschaften weiter untersucht und die von Rössler entwickelten globalen Methoden ausgebaut werden.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Gastgeber: Professor Dr. Damian Charles Rössler