Arithmetic and reduction of one-dimensional and higher-dimensional Abelian varieties over function fields
Final Report Abstract
Während der Dauer meines Forschungsstipendiums an der Universität Oxford habe ich mich mit der Arithmetik Abelscher Varietäten sowie Jacobischer Varietäten, insbesondere in positiver Charakteristik, beschäftigt. Zunächst ging es hier um eine Vermutung von Bosch-Lütkebohmert-Raynaud (über die Existenz von Néron lft-Modellen über globalen Dedekindschemata), sowie eine Vermutung von Chai (über das Verhalten von Néron lftModellen semiabelscher Varietäten unter Basiswechsel). Beide Vermutungen konnte ich für Jacobische Varietäten beweisen. In beiden Fällen beruhen die Beweise wesentlich auf Methoden zur Untersuchung von Jacobischen singulärer Kurven, die wiederum auf der Konstruktion von Modellen singulärer Kurven mit hinreichend guten Eigenschaften beruhen. Zusätzlich habe ich mich mit einem Spezialfall der Mordell-Lang-Vermutung beschäftigt und konnte diese für sehr generische Abelsche Varietäten zeigen. Diese Vermutung besagt, daß nur sehr spezielle Untervarietäten einer Abelschen Varietät eine Untergruppe von endlichem Range dicht schneiden können. Sie ist für viele Spezialfälle bekannt, allerdings ist der allgemeine Fall bislang ungelöst.
