Evolutionsgleichungen: Eingangsfunktionen und Stabilität

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professorin Dr. Birgit Jacob; Professor Dr. Felix Schwenninger
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 445241640

• Erstellungsjahr: 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Evolutionsgleichungen beschreiben die zeitliche Entwicklung eines dynamischen Systems, das von einem Anfangszustand und einem gegebenen Eingang abhängt. Dieses Projekt behandelt Evolutionsgleichungen in unendlich-dimensionalen Zustandsräumen. Der Fokus liegt hierbei auf unbeschränkten Eingangsoperatoren und möglichst schwachen Annahmen an den Raum der Eingangsfunktionen. Ein natürliches Beispiel eines solchen Raumes, in dem Standardmethoden nur begrenzt zur Verfügung standen, bilden die wesentlich beschränkten Funktionen. Die betrachtete Klasse von Evolutionsgleichungen umfasst eine umfangreiche Klasse von partiellen Differentialgleichungen mit Randsteuerungen. Frühere Forschungsergebnisse erforderten in der Regel beschränkte Eingangsoperatoren oder spezielle Wahlen der Eingangsräume, wie etwa den Raum der quadratisch-integrierbaren Funktionen. Häufig fällt die natürliche Wahl der Norm für die Eingänge aber nicht in diese Klassen. Beim Versuch, die bekannten Ergebnisse auf allgemeinere Räume zu übertragen, treten meist gravierende mathematische Probleme auf — wie beispielsweise der Umstand, dass die Translation auf dem betrachteten Funktionenraum nicht mehr stark stetig ist. Dies führt bereits im linearen Fall zu verblüffenden, offenen Problemen, wie die Frage nach der Stetigkeit milder Lösungen eines Randsteuerungsproblems unter minimalen Annahmen an den Randoperator. Insbesondere war die Behandlung dieser grundlegenden Fragestellungen ein wesentlicher Teil des Projektes. Im Gegensatz dazu ist die entsprechende endlich-dimensionale Theorie, die im Falle der wesentlich beschränkten Eingänge mitunter auf Eduardo Sontag zurückgeht, gut verstanden. Das Ziel dieses Projektes war es, sowohl die Wohlgestelltheit als auch die interne und externe Stabilitätsanalyse im Bezug auf oben erwähnte pathologische Funktionenräume weiter zu entwickeln. Hierbei lag der Fokus auf dem Raum der wesentlich beschränkten Funktionen, die trotz ihrer praktischen Relevanz zu grundlegenden mathematischen Problemen in der bisher bekannten Theorie führen. Das Vorhaben war in die Betrachtung von parabolischen und hyperbolischen Evolutionsgleichungen unterteilt werden. In beiden Fällen mussten zuerst die offenen Probleme im linearen Fall geklärt werden. Die daran anschließenden nicht-linearen Fragestellungen, wie beispielsweise die Fälle von bilinearen hyperbolischen und semilinearen parabolischen Gleichungen, waren auch ein erklärtes Ziel des Projektes. Um diese Ziele zu erreichen, haben wir klassische und moderne Themen der Operator- und der (unendlich-dimensionalen) Systemtheorie verbunden. Hierbei spielten unter anderem Werkzeuge, wie der Funktionalkalkül beschränkter, holomorpher Funktionen eine wesentliche Rolle.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Integral input-to-state stability of unbounded bilinear control systems. Mathematics of Control, Signals, and Systems, 34(2), 273-295.
  Hosfeld, René; Jacob, Birgit & Schwenninger, Felix L.
  
• Characterization of Orlicz admissibility. Semigroup Forum, 106(3), 633-661.
  Hosfeld, René; Jacob, Birgit & Schwenninger, Felix
  
• BIBO Stability for Funnel Control: Semilinear Internal Dynamics with Unbounded Input and Output Operators. Trends in Mathematics, 189-217. Springer Nature Switzerland.
  Hastir, Anthony; Hosfeld, René; Schwenninger, Felix L. & Wierzba, Alexander A.
  
• Input-to-State Stability for Bilinear Feedback Systems. SIAM Journal on Control and Optimization, 62(3), 1369-1389.
  Hosfeld, René; Jacob, Birgit; Schwenninger, Felix L. & Tucsnak, Marius