Ein kombinatorischer Ansatz zur asymptotischen Theorie der pro-p-Gruppen über Operationen auf p-adischen Bäumen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Sei G eine Gruppe, die con endliche vielen Elementen g1 , . . . , gd erzeugt wird. Dann ist die Untergruppenwachstumsfunktion sn (G) definiert als die Anzahl der Untergruppen vom Index ≤ n, die Normalteilerwachstumsfunktion s◁ t(G) als die n Anzahl der Normalteiler vom Index ≤ n, und die Wortwachstumsfunktion wn (G) als die Anzahl der verschiedenen Elemente, die sich durch Wörter der Länge ≤ n in ±1 ±1 g1 , . . . , gd darstellen lassen. Jede dieser Funktionen stellt ein Maß für die Größe und Komplexität einer Gruppe dar. Triviale Obergrenzen ergeben sich aus den Invarianten der freien Gruppen: wenn G durch d Elemente erzeugbar ist, dann gilt sn (G) ≤ n · n!d−1, s◁ (G) ≤ ncd log n für eine Konstante c > 0, und wn (G) ≤ (2d)n. Dabei ist zu beachten, dass sn (G) und s◁ (G) durch G festgelegte Funktionen sind, n während wn (G) außerdem von der Wahl des Erzeugendensystems abhängt, also nur bis auf eine gewisse Reskalierung definiert ist. Es stellt sich nun die Frage, welche Typen von Funktionen hier auftreten können. Inzwischen wissen wir, dass sn (G) und wn (G) in einem gewissen Rahmen alle vorgegebenen Funktionen realisieren können. Eine erste Frage ist, ob sich diese Funktionen gegenseitig bedingen. Dies erscheint naheliegend, da eine Gruppe, die in einem Aspekt groß erscheint, auch in einem anderen Aspekt groß sein sollte. Im Rahmen dieses Projektes stellte sich heraus, dass dies nicht der Fall ist. wn (G) und sn (G) lassen sich im Feld der pro-p-Gruppen in einem weiten Bereich unabhängig voneinander vorgegeben: Wählt man zwei Funktionen f, g, die die Ungleichungen 2 0.068 0.74 nlog n ≤ f (n) ≤ en und en ≤ f (n) < eϵn erfüllen, so gibt es eine Gruppe G, deren Untergruppenwachstum nahe bei f und deren Wortwachstum nahe bei g liegt. Weiterhin haben gewisse lineare pro-p-Gruppen Untergruppenwachstum vom Typ nlog n , was das Minimum für nicht p-adisch analytische Gruppen darstellt, und 1− 1 Normalteilerwachstum nlog d n . Das bedeutet, dass Gruppen, mit relativ wenig Untergruppen fast so viele normale Untergruppen haben können wie freie Gruppen, also auch diese Funktionen im wesentlichen unabhängig voneiander sind. Weiterhin sind diese Gruppen die ersten, für die das Normalteilerwachstum in diesem Bereich mit einiger Präzision bestimmt werden konnte.
