Netzwerk "Silting-Theorie"

• Antragsteller: Professor Dr. Steffen Koenig
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 451916042

Eine der erfolgreichsten Entwicklungen in der Darstellungstheorie begann mit der Morita-Theorie, die klärt wann zwei Algebren dieselben Kategorien von Darstellungen haben. Danach folgte Kipptheorie ("tilting theory") mit Verbindungen zwischen Algebren mit verschiedener Darstellungstheorie. Kompakte Kippkomplexe definieren derivierte Äquvalenzen, die nun im Zentrum eines ganzen Gebiets stehen, mit einer Fülle von Anwendungen in allen Bereichen der Darstellungstheorie und in Nachbargebieten. Parallel entwickelte sich nicht-kompakte Kipptheorie als eigenes Gebiet, mit Verbindungen zu Modelltheorie und Logik. Neue Richtungen der Kipptheorie wie Cluster-Kippen und tau-Kippen sind verwandt mit algebraischer Kombinatorik und Quantenalgebren.Aktuell entsteht ein neues Gebiet, das diese Entwicklungen vereinigt und vielfältig erweitert: Silting-Theorie beschäftigt sich mit abelschen und mit triangulierten Kategorien, beinhaltet und entwickelt grundlegende Strukturen wie Torsionstheorien und t-Strukturen, aber auch Lokalisierungen, und benötigt höhere Strukturen. Neuartige Anwendungen sind zu erwarten auf andere dynamische Entwicklungen wie Bridgeland-Stabilität, aber auch auf klassische Probleme wie die Auslander-Reiten-Vermutung und die Teleskop-Vermutung.Fast alle in diesem neuen Gebiet veröffentlichten Artikel sind seit 2015 erschienen, dem Jahr in dem in Verona ein erster Workshop zu Silting-Theorie mit knapp 50 Teilnehmern stattfand. Ein kleiner Workshop in China folgte 2018. Im Jahr 2019 wurden "Two weeks of silting" in Stuttgart veranstaltet, mit dann schon über 100 Teilnehmern.Das beantragte Netzwerk zielt auf die Verstärkung der existierenden Kollaborationen, auf das Anstossen und Unterstützen neuer Zusammenarbeit und auf die Bereitstellung einer Basis für Austausch innerhalb des Gebiets und mit Gebieten, die neue Methoden beitragen können oder in denen Silting-Theorie angewandt werden kann.Die wissenschaftlichen Ziele des Netzwerks bilden drei Paare von Gruppen:- Zwei Gruppen konzentrieren sich auf die Grundlagen, t-Strukturen in triangulierten Kategorien und Torsionstheorien in abelschen Kategorien sowie auf Parallelen und Verbindungen zwischen diesen Konzepten.- Die dritte und vierte Gruppe von Zielen soll die Zusammenhänge mit Lokalisierungen klären und verstärken und die ganze Theorie erweitern, indem höhere kategorielle Strukturen und "Enhancements" verfügbar gemacht werden.- Die fünfte und sechste Gruppe konzentriert sich auf Anwendungen, zu erzielen durch den Bau von Brücken zu Stabilitätsbedingungenund zu stabilen Kategorien und "simple-minded systems".Das Netzwerk wurde initiiert und wird koordiniert durch Nachwuchsforscher. Es wird durch einige erfahrene Forscher und externe Experten unterstützt. Es verbindet deutsche Darstellungstheoriegruppen, in Bonn, Bielefeld und Stuttgart, mit Arbeitsgruppen in Tschechien, Italien, Spanien und Großbritannien. Koordiniert wird das Netzwerk von Alexandra Zvonareva und Frederik Marks.

• DFG-Verfahren: Wissenschaftliche Netzwerke
• Mitverantwortlich(e): Dr. Alexandra Zvonareva, Ph.D.