Kernbasierte Multilevelverfahren für hochdimensionale Approximationsprobleme auf dünnen Gittern - Herleitung, Analyse und Anwendung in der Uncertainty Quantification

• Antragsteller: Professor Dr. Christian Rieger; Professor Dr. Holger Wendland
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 452806809

In diesem Projekt sollen verschiedene kernbasierte Multilevelverfahren zur Lösung von hochdimensionalen Approximationsaufgaben entwickelt, analysiert und implementiert werden. Kernbasierte Verfahren haben gegenüber anderen Verfahren den großen Vorteil, dass keine Annahmen an die Struktur der Daten gestellt werden müssen. Sie arbeiten mit beliebig verteilten Daten. Wir werden insbesondere Tensorprodukte von niedrigdimensionalen Punktwolken betrachten. Die Ausdünnung dieser Produkte führt dann zu verallgemeinerten dünnen Gittern. Ferner lassen sich mit ihnen durch geeignete Wahl des Kerns sehr einfach Approximationsräume hoher Ordnung erzeugen. Multilevelverfahren haben den zusätzlichen Vorteil, dass gerade bei großen Datenmengen adaptive Versionen, Versionen zur Datenkompression und effiziente Implementationen möglich sind. Hochdimensionale Approximationsaufgaben treten häufig bei parameterabhängigen partiellen Differentialgleichungen auf, die wiederum oft bei der Modellierung von komplexen Systemen verwendet werden. Die Parameter werden dabei typischerweise als zufällige Größen modelliert. Dies macht die Parameter und damit die Lösungen der partiellen Differentialgleichungen zu Funktionen über einem Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Entwicklung in einem Erzeugendensystem mit anschließender endlich dimensionaler Approximation führt schließlich zu einem Modell, bei dem die Parameter aus einem hochdimensionalen Raum kommen. Relevante Kenngrößen des Models lassen sich oft als Funktionale auf dem Raum der parametrisierten Lösungen darstellen. Die approximative Berechnung einer solchen Kenngröße benötigt daher ein hochdimensionales Rekonstruktionsverfahren, dessen Input Paare aus Parametern und numerisch berechneten Lösungen der partiellen Differentialgleichung sind. Die Verfahren sollen für allgemeine Grundräume entwickelt werden mit speziellem Augenmerk auf Tensorprodukten von Intervallen und niedrigdimensionalen Sphären als möglichen Parameterräumen. Zudem soll eine a priori Fehlertheorie für solche hochdimensionale Verfahren hergeleitet werden, die explizit alle relevanten Diskretisierungsparameter enthält. Es soll untersucht werden, inwiefern sich diese Verfahren zur numerischen Bestimmung einer Karhunen-Loeve Entwicklung und bei Fragestellungen aus den Bereichen Design of Experiment bzw. Reduced Order Modeling anwenden lassen.Schließlich sollen die Verfahren auf konkrete Beispiele aus der Uncertainty Quantification angewandt werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen