Cut and project schemes, Kombinatorik und Mittelungseigenschaften von Toeplitz subshifts

• Antragsteller: Dr. Daniel Sell
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2021 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 454053022

Im Projekt sollen verschiedene Eigenschaften von subshifts untersucht werden, die von Toeplitzwörtern erzeugt sind. Unter einem "Wort" versteht man hier eine Abbildung von den ganzen Zahlen in eine endliche Menge, also eine unendliche Aneinanderreihung von Symbolen. Toeplitzwörter werden mit einer Methode konstruiert, die nichtperiodische, aber dennoch sehr geordnete Wörter erzeugt. Daher sind Toeplitzwörter auch wichtige Beispiele in der Theorie der aperiodischen Ordnung und interessante eindimensionale Modelle für Quasikristalle.Im Zusammenhang mit Quasikristallen spielt das Spektrum des zugehörigen Schrödingeroperators eine wichtige Rolle, da es die möglichen Energielevel der Elektronen beschreibt. Ist die sogenannte leading sequence condition (LSC) erfüllt, so ist das Spektrum stets eine Cantormenge vom Lebesguemaß Null (tatsächlich folgt sogar die Gleichmäßigkeit lokalkonstanter Kozyklen). Allerdings konnte die LSC bisher nur für subshifts sogenannter einfacher Toeplitzwörter gezeigt werden. Ein Ziel des Projektes ist es, diesen Beweis auf eine größere Klasse von Toeplitzwörtern zu verallgemeinern. Weiterhin sollen auch notwendige oder hinreichende Bedingungen bestimmt werden, unter denen ein allgemeines Toeplitzwort die LSC erfüllt.Ein Teil der LSC basiert auf den kombinatorischen Eigenschaften der betrachteten Wörter. Daher ist die Analyse des zugehörigen cut and project schemes von Interesse. Es erlaubt eine Darstellung der nichtperiodischen, eindimensionalen Wörter mit Hilfe eines periodischen, höher-dimensionalen Gitters. Ein erster Schritt ist daher, den Zusammenhang zwischen kombinatorischen Eigenschaften der Wörter und Eigenschaften der Projektionsmengen zu studieren. Als zweiten Schritt sollen die kombinatorischen Eigenschaften selbst untersucht werden.Der verbleibende Teil der LSC behandelt Mittelwerte von matrixwertigen Funktionen entlang der Toeplitzwörter. Darüber hinaus ist aber auch eine Untersuchung reellwertiger Funktionen geplant. Diese sind von besonderem Interesse, da ein kürzlich erschienener preprint die viel-untersuchte Sarnak'sche Vermutung auf Mittelwerte entlang "sehr geordneter" Toeplitzwörter (Entropie Null) reduzierte. Die Vermutung betrifft Mittelwerte der sogenannten Möbiusfunktion, welche in der Zahlentheorie eine wichtige Rolle spielt.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Polen
• Gastgeber: Professor Dr. Mariusz Lemanczyk