Kompressionsverfahren für Randintegralmatrizen mit translationsinvarianten Kernfunktionen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die mathematische Untersuchung elektrostatischer, elektromagnetischer oder akustischer Felder und der Strukturmechanik kann auf Randintegralgleichungen zurückgeführt werden. Im Vergleich zu partiellen Differentialgleichungen hat dieser Ansatz den Vorteil, dass lediglich die Oberfläche erfasst werden muss, nicht aber ihr Inneres, so dass eine geeignete Genauigkeit mit einer erheblich geringeren Anzahl von Unbekannten erreicht werden kann. Der Nachteil der Randintegralgleichungen ist allerdings, dass sie in der Regel nichtlokale Operatoren enthalten, dass also im Wesentlichen jeder Punkt der Oberfläche mit jedem anderen Punkt verbunden ist. Dadurch entstehen vollbesetzte Matrizen, während bei partiellen Differentialgleichungen dünnbesetzte Matrizen üblich sind. Um diese vollbesetzten Matrizen effizient handhaben zu können, kommen Kompressionstechniken zum Einsatz, die beispielsweise ausnutzen, dass die der Integralgleichung zugrunde liegende Kernfunktion g lokal glatt ist und sich deshalb approximieren lässt, so dass sich der Speicherbedarf und der Rechenaufwand erheblich reduzieren lassen. Gegenstand des Projekts ist die Untersuchung einer Technik, die Interpolation einsetzt, um die vollbesetzte Matrix durch eine H²-Matrix zu approximieren. Von besonderem Interesse ist dabei die Translationsinvarianz der Kernfunktion, die durch die Gleichung g(x, y) = g(x − c, y − c) charakterisiert ist. Durch eine geeignete Wahl der für die Interpolation eingesetzten Gebiete lässt sich erreichen, dass nur eine sehr geringe Anzahl von Koeffizienten ausreicht, um die Wechselwirkungen voneinander entfernter Gebiete zu beschreiben. Die durch die Interpolation motivierte Approximation enthält noch Redundanzen, die mit Hilfe einer algebraischen Kompression weitgehend eliminiert werden können, ohne die Genauigkeit negativ zu beeinflussen. Die Umsetzung der Kompression für translationsinvariante Kernfunktionen war eine wesentliche Aufgabe des Projekts. Es ist uns dabei gelungen, den Arbeitsaufwand für alle Stufen außer den Blättern von O(nk²) auf O(k³ log n) zu reduzieren. Die Randintegralformulierung der hochfrequenten Helmholtz-Gleichung, die beispielsweise die Ausbreitung akustischer Wellen beschreibt, stellt eine besondere Herausforderung dar, weil eine schnell oszillierende Kernfunktion auftritt. In der letzten Phase des Projekts untersuchen wir, wie sich die für translationsinvariante Kernfunktionen entwickelten Techniken auf den Fall der hochfrequenten Helmholtz-Gleichung übertragen lassen. Es gelingt uns dabei, den Speicherbedarf von O(nk² log n) auf O(nk²) zu reduzieren, so dass in dem auf einem Rechner verfügbaren Speicher erheblich größere Matrizen behandelt werden können.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Memory efficient compression of DH2-matrices for high frequency Helmholtz problems. Numerical Linear Algebra with Applications, 31(6).
Börm, Steffen & Henningsen, Janne
