Quasi-Stationärzustand Approximation für Partielle Differentialgleichungen

• Antragsteller: Professor Christian Kühn, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2021 bis 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 456754695

• Erstellungsjahr: 2025

Zusammenfassung der Projektergebnisse

In vielen Naturwissenschaften treten dynamische Systeme mit mehreren Zeitskalen auf, beispielsweise in der Chemie, Biologie oder Physik. Die sogenannte Quasi-Steady State Approximation (QSSA) ist ein mathematisches Verfahren, das hilft, komplexe Systeme mit schnellen und langsamen Prozessen zu vereinfachen. Während QSSA bei gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODEs) schon lange verwendet wird, ist ihre Anwendung auf partielle Differentialgleichungen (PDEs), die zusätzlich räumliche Komponenten berücksichtigen, noch wenig erforscht. Ziel dieses Projekts war es, die QSSA systematisch und mathematisch fundiert auf PDEs anzuwenden und weiterzuentwickeln. Ein zentrales Element war dabei die Untersuchung sogenannter „langsamer Mannigfaltigkeiten“ – dies sind mathematische Strukturen, die das Verhalten langsamer Prozesse beschreiben. Die Projektpartner haben Methoden aus der Funktionalanalysis (z. B. Entropietechniken) mit geometrischen Reduktionsverfahren kombiniert, um diese komplexen Systeme zu analysieren. Konkrete Anwendungen gab es u. a. bei chemischen Reaktionen mit Diffusion, ökologischen Räuber-Beute-Modellen und der Fokker-Planck-Gleichung, die stochastische Prozesse beschreibt. Die Forscher konnten zeigen, wie aus komplizierten Modellen einfachere Näherungen abgeleitet werden können, die dennoch wichtige physikalische oder biologische Eigenschaften korrekt wiedergeben. Die Bedeutung dieser Ergebnisse liegt darin, dass sie neue Einblicke in die Vereinfachung hochkomplexer Prozesse ermöglichen. Dies ist nicht nur für die Mathematik relevant, sondern auch für zahlreiche Anwendungsgebiete, in denen zuverlässige Modelle trotz begrenzter Rechenressourcen benötigt werden. Gleichzeitig wurden Nachwuchswissenschaftler*innen eingebunden und ausgebildet, was einen nachhaltigen Beitrag zur wissenschaftlichen Ausbildung leistet.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Global well-posedness for volume–surface reaction–diffusion systems. Communications in Contemporary Mathematics, 25(04).
  Morgan, Jeff & Tang, Bao Quoc
  
• Analysis of mass controlled reaction–diffusion systems with nonlinearities having critical growth rates. Journal of Evolution Equations, 23(3).
  Sun, Chunyou; Tang, Bao Quoc & Yang, Juan
  
• Global Renormalised Solutions and Equilibration of Reaction–Diffusion Systems with Nonlinear Diffusion. Journal of Nonlinear Science, 33(4).
  Fellner, Klemens; Fischer, Julian; Kniely, Michael & Tang, Bao Quoc
  
• Fast-reaction limits for predator–prey reaction–diffusion systems: improved convergence. Topics in Multiple Time Scale Dynamics, 173–187.
  Soresina, Cinzia; Tang, Bao & Tran, Bao-Ngoc
  
• Infinite dimensional slow manifolds for a linear fast-reaction system. Contemporary Mathematics, 87-104. American Mathematical Society.
  Kuehn, Christian; Lehner, Pascal & Sulzbach, Jan-Eric
  
• Macroscopic limit for stochastic chemical reactions involving diffusion and spatial heterogeneity. Stochastic Processes and their Applications, 176, 104433.
  Egan, Malcolm & Tang, Bao Quoc
  
• Nonconcentration phenomenon for one‐dimensional reaction–diffusion systems with mass dissipation. Mathematische Nachrichten, 297(11), 4288-4306.
  Yang, Juan; Kostianko, Anna; Sun, Chunyou; Tang, Bao Quoc & Zelik, Sergey
  
• Rigorous Derivation of Michaelis–Menten Kinetics in the Presence of Slow Diffusion. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 56(5), 5995-6024.
  Tang, Bao Quoc & Tran, Bao-Ngoc
  
• Approximate slow manifolds in the Fokker-Planck equation. Quarterly of Applied Mathematics, 84(2), 227-261.
  Kuehn, Christian & Sulzbach, Jan-Eric
  
• Fast reactions and slow manifolds. Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA, 32(4).
  Kuehn, Christian & Sulzbach, Jan-Eric
  
• Nonisothermal Diffuse Interface Model for Phase Transition and Interface Evolution. SIAM Journal on Applied Mathematics, 85(6), 2611-2635.
  Liu, Chun; Sulzbach, Jan-Eric & Wang, Yiwei
  
• On a continuum model for random genetic drift: a dynamic boundary condition approach. Communications in Analysis and Mechanics, 17(3), 829-848.
  Liu, Chun; Sulzbach, Jan-Eric & Wang, Yiwei
  
• Pathwise Mild Solutions for Superlinear Stochastic Evolution Equations and Their Attractors. Elsevier BV.
  Neamtu, Alexandra; Seitz, Tim; Sonner, Stefanie & TANG, Bao Quoc
  
• Slow Manifolds for PDE with Fast Reactions and Small Cross Diffusion
  L. Desvillettes, C. Kuehn, J.E. Sulzbach, B.Q. Tang & B.N. Tran
  
• Volume-surface systems with sub-quadratic intermediate sum on the surface: Global existence and boundedness. Communications on Pure and Applied Analysis, 24(12), 2261-2289.
  Yang, Juan & Tang, Bao Quoc
  
• On the Equilibriation of Chemical Reaction-Diffusion Systems with Degenerate Reactions. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 58(1), 276-307.
  Desvillettes, Laurent; Phung, Kim Dang & Tang, Bao Quoc
  
• Rigorous fast signal diffusion limit and convergence rates with the initial layer effect in a competitive chemotaxis system. Elsevier BV.
  Reisch, Cordula; Tran, Bao-Ngoc & Yang, Juan
  
• Singular limit and convergence rate via projection method in a model for plant-growth dynamics with autotoxicity. Journal of Differential Equations, 452, 113797.
  Morgan, Jeff; Soresina, Cinzia; Tang, Bao Quoc & Tran, Bao-Ngoc