Präzise Asymptotiken für Funktionale von Punktprozessen mit schnell abfallenden Korrelationen

• Antragsteller: Professor Dr. Peter Eichelsbacher
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2021 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 459731056

In dem beantragten Projekt untersuchen wir eine große Klasse geometrischer Funktionale von Punktprozessen im d-dimensionalen Euklidischen Raum, die schnell fallendes Korrelations-Verhalten aufweisen. In vielen Beispielen sind die Funktionale als Summen räumlich abhängiger Terme (score-Funktionen) darstellbar, die die Wechselwirkung der Punkte mit der lokalen Umgebung beschreiben. Die Summen beschreiben typischerweise eine globale Größe / Eigenschaft einer Ansammlung von endlich vielen zufälligen Punkten in Termen lokaler Beiträge.Zu den Anwendungen gehören Statistiken simplizialer Komplexe, Statistiken hochdimensionaler Datensammlungen, Statistiken sogenannter Keim-Korn Modelle sowie Statistiken von Perkolations-Modellen. Für die spezielle Klasse der Poisson-Punktprozesse oder binomial verteilter Punkte untersuchen wir allgemeiner quadrat-integrierbare Funktionale. Die Untersuchungen konzentrieren sich auf präzise große und moderate Abweichungen jenseits der logarithmischen Skala sowie der Analyse von Konvergenzraten bei Normalapproximation dieser Funktionale (zentrale Grenzwertsätze). Wir verwenden und entwickeln die Methode der Abschätzung von Kumulanten, die Methode der faktoriellen Kumulanten und der Cluster-Maße sowie die Steinsche Methode. Zusammenfassend untersuchen wir eine rigorose Beschreibung und Analyse geometrischer Funktionale von geometrischen Strukturen, bei denen die zufälligen Punkte räumlichen Korrelationen unterliegen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen