Geometrische Strukturen und wo sie zu finden sind

• Antragsteller: Dr. Francesco Cattafi
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2021 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 460397678

MathematikerInnen sind schon immer von Symmetrien, Formen und Mustern fasziniert gewesen, und haben jahrhundertelang verschiedene Arten ihrer Beschreibung untersucht. Die moderne geometrische Formulierung verwendet das Konzept der Mannigfaltigkeit, d.h. eines Raums, der lokal einem flachen Raum gleicht. Beispiele sind der dreidimensionale Raum und die vierdimensionale Raumzeit (die global flach sind) sowie gekrümmte Räume wie die Oberfläche einer Kugel oder das Universum der allgemeinen Relativitätstheorie: diese sind nur lokal flach, weil ihre Fläche um jeden Punkt durch einen flachen Raum angenähert werden kann.Mannigfaltigkeiten können auch mit zusätzlichen geometrischen Strukturen ausgestattet werden, die auf viele Bereiche der Mathematik und Physik angewendet werden können. Dies sind Werkzeuge, um bestimmte Aufgaben auszuführen: Beispielsweise misst eine Riemannsche Metrik die Abstände zwischen Punkten, während eine Blätterung die Mannigfaltigkeit in kleinere Teile unterteilt.Viele geometrische Strukturen können unter Verwendung der Symmetrien eines bestimmten Raums definiert werden. Die meiste zeitgenössische Forschung konzentriert sich jedoch auf bestimmte Beispiele oder beschränkt sich auf den Fall, dass die Symmetrien eine Gruppe bilden. Trotz früherer Versuche, verschiedene geometrische Strukturen gleichzeitig zu behandeln, ist die aktuelle Situation noch nicht zufriedenstellend.Um eine vollständigere Theorie zu entwickeln, sollten lokale Symmetrien berücksichtigen werden, die durch allgemeinere Versionen von Gruppen beschrieben werden: nämlich von Pseudogruppen. Die damit verbundene Theorie der geometrischen Strukturen, die als Γ-Strukturen bezeichnet wird, ist ziemlich alt: sie umfasst fast jedes bekannte Beispiel, ist aber immer noch stark unterentwickelt. Der Hauptgrund dafür ist, dass die richtigen Werkzeuge zu ihrem Studium erst in den letzten Jahren entwickelt wurden.Ziel meines Vorschlags ist es, diese Entwicklung voranzutreiben, indem mehrere Ergebnisse zur Integrierbarkeit und Klassifizierung von Γ-Strukturen nachgewiesen werden. Ein wichtiger Aspekt dieses Projekts ist die Verwendung und Entwicklung neueren und leistungsfähigeren Techniken, die Lie-Gruppoide, multiplikative Formen und Morita-Äquivalenzen umfassen. Ich habe auch vor, diesen Ansatz zu nutzen, um andere Theorien geometrischer Strukturen zu beleuchten - zum Beispiel G-Strukturen und Cartan-Geometrien.

• DFG-Verfahren: WBP Stelle