Geometrische Strukturen und wo sie zu finden sind
Zusammenfassung der Projektergebnisse
MathematikerInnen waren schon immer von Symmetrien, Formen und Mustern fasziniert gewesen, und haben über Jahrhunderte verschiedene Arten zu ihrer Beschreibung erforscht. Die moderne geometrische Formulierung verwendet das Konzept der Mannigfaltigkeit, d.h. eines Raums, der lokal auf einem flachen Raum modelliert ist. Beispiele sind der dreidimensionale Raum und der vierdimensionale Raumzeit (die global flach sind) sowie gekrümmte Räume wie die Oberfläche einer Kugel oder das Universum der allgemeinen Relativitätstheorie: diese sind nur lokal flach, weil der Bereich um jeden Punkt durch einen flachen Raum approximiert werden kann. Mannigfaltigkeiten können auch mit zusätzlichen geometrischen Strukturen ausgestattet werden, die auf viele Bereiche der Mathematik und Physik angewendet werden können. Dies sind Werkzeuge, um bestimmte Aufgaben auszuführen: zum Beispiel misst eine Riemannsche Metrik die Abstände zwischen Punkten, während eine Blätterung die Mannigfaltigkeit in kleinere Teile unterteilt. Viele geometrische Strukturen können unter Verwendung der Symmetrien eines bestimmten Raums definiert werden. Das Standardmathematikkonzept zur Modellierung (kontinuierlicher) Symmetrien ist das einer (Lie) Gruppe. Jedoch sollte man, um eine vollständigere Theorie geometrischer Strukturen zu entwickeln, auch lokale Symmetrien zulassen, die durch allgemeinere Versionen von Gruppen beschrieben werden, nämlich (Lie) Gruppoiden. Der aktuelle Stand der Forschung ist noch nicht zufriedenstellend; trotz bedeutender Fortschritte in der Theorie der Lie-Gruppoiden in den letzten 30 Jahren, sind ihre Anwendungen auf geometrische Strukturen immer noch unterentwickelt. In diesem Projekt habe ich neueren und leistungsfähigeren Techniken wie multiplikative Strukturen und Marita-Äquivalenzen eingesetzt, um eine Vielzahl von anspruchsvollen Problemen anzugehen. Diese umfassen spezifische geometrische Strukturen wie Blätterung sowie allgemeinere Rahmenwerke, die in der Lage sind, mehrere Strukturen gleichzeitig zu behandeln, wie zum Beispiel Cartan-Geometrien und G-Strukturen. Die Ergebnisse meiner Untersuchungen haben vielversprechende Resultate hervorgebracht, die an sich interessant sind, aber auch den Grundstein für zukünftige Forschungsprojekte legen.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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A groupoid approach to transitive differential geometry
Francesco Cattafi & L. Accornero
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Pseudogroups of symmetries and Morita equivalences
Francesco Cattafi & L. Accornero
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Poisson manifold. WikiJournal of Science, 7(1), X.
Cattafi, Francesco
