Die verallgemeinerte Serre-Frage

• Antragsteller: Dr. Tariq Syed
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2021 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 461453992

In Beantwortung einer Frage von Jean-Pierre Serre haben Daniel Quillen und Andrei Suslin im Jahr 1976 unabhängig voneinander bewiesen, dass algebraische Vektorbündel über affinen Räumen stets trivial sind. Die affinen Räume über den komplexen Zahlen sind die grundlegendsten Beispiele von topologisch zusammenziehbaren glatten affinen Varietäten über den komplexen Zahlen. Die verallgemeinerte Serre-Frage fragt nun, ob algebraische Vektorbündel über topologisch zusammenziehbaren glatten affinen komplexen Varietäten stets trivial sind.Gurjar bewies im Jahr 1980, dass Geradenbündel über topologisch zusammenziehbaren glatten affinen komplexen Varietäten stets trivial sind. Dies implizierte sofort, dass alle Vektorbündel über topologisch zusammenziehbaren glatten affinen komplexen Varietäten von Dimension 1 trivial sind. Im Jahr 1989 konnten Gurjar und Shastri beweisen, dass auch alle Vektorbündel über topologisch zusammenziehbaren glatten affinen komplexen Varietäten von Dimension 2 trivial sind.Allgemeine Resultate zur Klassifizierung algebraischer Vektorbündel über glatten affinen Varietäten von Kumar-Murthy und Asok-Fasel zeigen, dass alle Vektorbündel über einer topologisch zusammenziehbaren glatten affinen komplexen Varietät von Dimension 3 genau dann trivial sind, wenn die Chow-Gruppen der Varietät trivial sind. Neue Resultate von Tariq Syed zeigen, dass alle Vektorbündel über einer topologisch zusammenziehbaren glatten affinen komplexen Varietät von Dimension 4 trivial sind, falls die Chow-Gruppen sowie eine spezifische Hermitesche K-Theorie-Gruppe dieser Varietät trivial sind. In höheren Dimensionen gibt es noch kein kohomologisches Kriterium zur verallgemeinerten Serre-Frage.Das Ziel dieses Projekts ist es, die verallgemeinerte Serre-Frage in den Dimensionen 3 und 4 zu beantworten und zudem kohomologische Kriterien zur verallgemeinerten Serre-Frage in höheren Dimensionen zu finden.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Norwegen, USA
• Gastgeber: Professor Aravind Asok; Professor Paul Arne Østvær