Die verallgemeinerte Serre-Frage

• Antragsteller: Dr. Tariq Syed
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2021 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 461453992

• Erstellungsjahr: 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

In Beantwortung einer Frage von Jean-Pierre Serre haben Daniel Quillen und Andrei Suslin im Jahr 1976 unabhängig voneinander bewiesen, dass algebraische Vektorbündel über affinen Räumen stets trivial sind. Die affinen Räume über den komplexen Zahlen sind die grundlegendsten Beispiele von topologisch zusammenziehbaren glatten affinen Varietäten über den komplexen Zahlen. Die verallgemeinerte Serre-Frage fragt nun, ob algebraische Vektorbündel über topologisch zusammenziehbaren glatten affinen komplexen Varietäten stets trivial sind. Während die verallgemeinerte Serre-Frage bekanntermaßen in den Dimensionen 1 und 2 eine positive Antwort hat, ist die Frage in höheren Dimensionen noch offen. Allgemeine Resultate zur Klassifizierung von Vektorbündeln über glatten affinen Varietäten zeigen, dass alle Vektorbündel über einer topologisch zusammenziehbaren glatten affinen komplexen Varietät von Dimension 3 genau dann trivial sind, wenn die Chow-Gruppen der Varietät trivial sind. Als Konsequenz seiner Ergebnisse zu stabil trivialen Vektorbündeln von Rang 2 und symplektischen Bahnen unimodularer Reihen bewies Tariq Syed, dass alle Vektorbündel über einer topologisch zusammenziehbaren glatten affinen komplexen Varietät von Dimension 4 trivial sind, falls die Chow-Gruppen sowie eine spezifische Hermitesche K-Theorie-Gruppe dieser Varietät trivial sind. Die Hauptleistung dieses Projekts ist eine systematische Untersuchung konkreter Beispiele topologisch zusammenziehbarer glatter affiner komplexer Varietäten: Solche Beispiele können sehr oft als zyklische Überlagerungen interpretiert werden und das Hauptergebnis dieses Projekts zeigt, dass die Chow- Gruppen solcher Beispiele nach Tensorieren mit den rationalen Zahlen trivial werden. Im Spezialfall sogenannter bizyklischer Überlagerungen wird sogar gezeigt, dass die Chow-Gruppen unter geeigneten Annahmen auch ohne Tensorieren mit den rationalen Zahlen trivial sind. Die spezifische Hermitesche K-Theorie-Gruppe, die in Dimension 4 von Interesse ist, hat sich unter geeigneten Annahmen für bizyklische Überlagerungen der Dimension 4 ebenfalls als trivial erwiesen. Alle diese Resultate scheinen auf eine positive Antwort auf die verallgemeinerte Serre-Frage in den Dimensionen 3 und 4 hinzuweisen. Darüber hinaus wurden vorherige Resultate zu symplektischen Bahnen unimodularer Reihen nochmals verallgemeinert; dies diente als Inspiration für den Beweis einer symplektischen Version von Suslins berühmtem n!-Satz über unimodulare Reihen, was eine weitere wichtige Errungenschaft dieses Projekts darstellt. Weitere Errungenschaften dieses Projekts sind schließlich Ergebnisse zur Verbindung zwischen unimodularen Reihen und Spin-Bahnen von Einheitsvektoren sowie die Verallgemeinerung von Suslin-Matrizen, welche in der K-Theorie, in der Homotopietheorie und in der Erforschung stabil trivialer Vektorbündel in den letzten Jahrzehnten eine wichtige Rolle gespielt haben.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• A note on Suslin matrices and Clifford algebras
  Tariq Syed
  
• A symplectic version of Suslin’s n!-theorem
  Tariq Syed
  
• Symplectic orbits of unimodular rows. Journal of Algebra, 646, 478-493.
  Syed, Tariq
  
• Some remarks on spin-orbits of unit vectors. Journal of Pure and Applied Algebra, 229(1), 107802.
  Syed, Tariq
  
• Motivic cohomology of cyclic coverings. Advances in Mathematics, 487, 110767.
  Syed, Tariq