Modulräume meromorpher Zusammenhänge und die Fourier-Transformation
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Dieses Projekt beschäftigte sich mit Themen aus dem Bereich von Differentialgleichungen mit irregulären Singularitäten, welche eine wichtige Rolle in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik spielen. Ein Hauptfokus war dabei das Studium einer ganz grundlegend bedeutenden Operation: der Fourier-Transformation. Meromorphe Differentialgleichungen auf einer Riemannschen Fläche werden charakterisiert durch linear-algebraische Daten, ihre sogenannten Stokes-Daten, und diese bilden die Grundlage für die Konstruktion von Modulräumen solcher Objekte. Gemeinsam mit Jean Douçot und aufbauend auf Ergebnissen von Takuro Mochizuki und Philip Boalch gelang es, einen expliziten Algorithmus zu beschreiben, mit dessen Hilfe in einer großen Klasse von Fällen die Stokes-Daten des Fourier-transformierten Systems ausgehend von den Stokes-Daten des ursprünglichen Systems berechnet werden können. Einerseits erweitert dieses Ergebnis die Liste der wenigen expliziten Beispiele, die bislang verstanden sind. Andererseits ermöglichte uns diese konkrete algorithmische Beschreibung zu verifizieren, dass die Fourier-Transformation in diesen Fällen verträglich mit gewissen geometrischen Strukturen auf den Modulräumen ist. Ein weiterer Fokus unseres Projektes lag auf der Anwendung neuer Techniken im Bereich der irregulären Singularitäten, welche von Andrea D’Agnolo und Masaki Kashiwara entwickelt wurden: der Theorie der enhanced ind-sheaves. Zunächst untersuchten wir ein Abstiegsproblem, nämlich die Frage, unter welchen Voraussetzungen Systeme mit irregulären Singularitäten – und damit insbesondere deren Stokes-Daten – über einem Unterkörper der komplexen Zahlen definiert sind. In einer gemeinsamen Arbeit mit Davide Barco, Marco Hien und Christian Sevenheck gaben wir eine explizite Antwort auf diese Frage im Fall von hypergeometrischen Differentialgleichungen. In der Folge wurden weitere Fragestellungen im Hinblick auf Konjugation und Abstieg für Garben und enhanced ind-sheaves untersucht. Um diese zu beantworten, arbeiteten wir insbesondere in einer gemeinsamen Arbeit mit Pierre Schapira einige interessante Verträglichkeiten von Operationen auf konstruierbaren Garben aus. Außerdem wurde der Konjugationsfunktor für D-Modun von Kashiwara im Kontext der Resultate von D’Agnolo– Kashiwara studiert. Ein anderer Aspekt wurde in einer gemeinsamen Arbeit mit Brian Hepler studiert: Dort zeigen wir, wie klassische Objekte, die Lösungen mit Wachstumsbedingungen beschreiben, im Kontext der enhanced ind-sheaves dargestellt werden können. Um dies zu erreichen, beweisen wir eine Dualität zwischen De-Rham-Komplexen mit moderatem Wachstum und schnellem Abfall, welche eng mit klassischen Dualitätsresultaten nach Bloch–Esnault und Hien zusammenhängt. Dies eröffnet auch Perspektiven auf das Studium von Nachbarschafts- und verschwindenden Zykeln für irreguläre D-Moduln mithilfe dieser neuen Methoden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Betti Structures of Hypergeometric Equations. International Mathematics Research Notices, 2023(12), 10641-10701.
Barco, Davide; Hien, Marco; Hohl, Andreas & Sevenheck, Christian
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The notion of R-triple and various functors, Extended Abstract, Oberwolfach Report No. 17/2023, 12–14.
A. Hohl
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Kashiwara conjugation and the enhanced Riemann–Hilbert correspondence. Portugaliae Mathematica, 81(3), 347-387.
Hohl, Andreas
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Moderate Growth and Rapid Decay NearbyCycles via Enhanced Ind-Sheaves. Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, 61(1), 1-51.
Hepler, Brian & Hohl, Andreas
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Unusual functorialities for weakly constructible sheaves. Pacific Journal of Mathematics, 334(1), 153-166.
Hohl, Andreas & Schapira, Pierre
