Konvexe Relaxierung von Optimalsteuerproblemen mit kombinatorischen Schaltungsbedingungen

• Antragsteller: Professor Dr. Christoph Buchheim; Professor Dr. Christian Meyer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 468720830

Optimalsteuerprobleme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf, z.B. in der Chemietechnik, in der Epidemiologie, beim Schalten von Gängen in der Fahrzeugtechnik oder beim Schalten von Ventilen oder Kompressoren in Gas- und Wassernetzen. Insbesondere erfolgt die Steuerung häufig in Form einer endlichen Menge von Schaltern, die innerhalb eines gegebenen kontinuierlichen Zeithorizonts betätigt werden können. Zum Beispiel kann der Prozess des Erhitzens eines Werkstücks durch eine parabolische partielle Differentialgleichung beschrieben werden, bei der die Temperatur an jedem Punkt des Werkstücks und zu jedem Zeitpunkt implizit durch die Einstellung der Schalter bis zu diesem Zeitpunkt bestimmt wird. Das Ziel könnte nun darin bestehen, durch eine optimale Einstellung der Schalter eine gewünschte Temperaturverteilung zu erhalten oder zu approximieren.In der Praxis lassen die Schalter oft nur eine endliche Anzahl von Zuständen zu. Wir werden unsere Untersuchung auf den Fall von Binärschaltern konzentrieren, die zu einem gegebenen Zeitpunkt ein- oder ausgeschaltet sein können. Solange keine weiteren Einschränkungen berücksichtigt werden, stellt sich heraus, dass solche binären Probleme eng verbunden sind mit den Problemen, bei denen die Binäritätsbedingung relaxiert wird. Ein typischer Ansatz besteht dann darin, zuerst das relaxierte Problem zu lösen und anschließend die relaxierte Lösung in geeigneter Weise zu runden, um eine approximative Lösung des ursprünglichen binären Problems zu erhalten. Dieser Ansatz schlägt jedoch häufig fehl, wenn zusätzliche und sehr natürliche Einschränkungen berücksichtigt werden müssen, wie z.B. eine Untergrenze für die Zeitspanne zwischen zwei Änderungen desselben Schalters oder eine Obergrenze für die Gesamtzahl der Änderungen des Schalters.Während solche kombinatorischen Einschränkungen häufig als zusätzliche Komplikation angesehen werden, die in einem heuristischen Postprocessing behandelt werden können, schlagen wir einen Ansatz vor, bei dem die kombinatorische Struktur im Mittelpunkt des Algorithmus steht. Unser Ziel ist es, die konvexe Hülle aller möglichen Schaltmuster zu verstehen und durch Schnittebenen zu beschreiben, die aus endlichdimensionalen Projektionen dieser konvexen Hülle abgeleitet werden. Letztere sind binäre Polytope und somit für Standardmethoden der polyedrischen Kombinatorik zugänglich. Es ist jedoch wichtig zu betonen, dass die Projektionen nicht von einer vordefinierten Diskretisierung abhängen und dass der Gesamtalgorithmus im Funktionenraum definiert wird, im Gegensatz zu sogenannten first-discretize-then-optimize-Ansätzen, die zu großen nicht-konvexen gemischt-ganzzahligen Optimierungsproblemen führen würden. Unser Ziel ist es, global optimale Lösungen zu erhalten, indem wir die resultierenden konvexen Relaxationen durch einen Outer-Approximation-Ansatz lösen und diese in ein maßgeschneidertes Branch-and-Bound-Schema einbetten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen