Analysis von Eigenwertproblemen für qualitative Methoden in inverser Streutheorie

• Antragsteller: Dr. Martin Halla
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 468728622

Wir analysieren bestimmte neue Klassen von nicht-selbstadjungierten Eigenwertproblemen, welche in Zusammenhang zu nicht-invasiven Testmethoden stehen.Ein wichtiges ungelöstes Problem in der Theorie inverser Streuung ist, wie man Veränderungen in den beschreibenden Materialparametern in einem nicht-homogenen anisotropen Medium feststellen kann. Die Schwierigkeit ist, dass für anisotrope Medien das zugehörige inverse Streuproblem keine eindeutige Lösung besitzt. Eine Abhilfe dafür sind qualitative Methoden und Zielsignaturen. Dies sind Eigenwerte welche mit dem direkten Streuproblem in Zusammenhang stehen und über die Messung der Streudaten zugänglich sind. Klassische Zielsignaturen sind Resonanzen und Transmissions-Eigenwerte. Diese haben allerdings mehrere Nachteile: sie benötigen Multifrequenzdaten, die Messfrequenzen können nicht beliebig gewählt werden und komplexe Eigenwerte können nicht effektiv lokalisiert werden. Kürzliche sind neue Methoden berichtet worden, welche auf alternativen Zielsignaturen basieren und diese Nachteile überwinden. Diese neuartigen Methoden führen zu neuartigen Eigenwertproblemen.Da diese Eigenwertprobleme nicht von der klassischen Theorie abgedeckt sind werden viele neue Fragen aufgeworfen. Insbesondere sind diese Eigenwertprobleme für absorbierende Medien nicht-selbstadjungiert und die Existenz von Eigenwerten ist eine delikate Angelegenheit. Allerdings ist die Existenz von Eigenwerten essenziell für die zugehörigen nicht-invasiven Testmethoden. Denn wenn keine Eigenwerte existieren sind diese Methoden nutzlos. Weiterhin müssen die Verschiebungen der Eigenwerte aufgrund von Änderungen im Material sensibel genug sein, um effektive nicht-invasive Testmethoden zu liefern. Daher beinhalten einige dieser neuen Methoden einen zusätzlichen Parameter um die Sensibilität zu optimieren. Allerdings ist der Effekt dieses Parameters nicht bekannt.Das erste Ziel dieses Projekts ist daher die Existenz von Eigenwerten sicherzustellen. Im genaueren werden wir Techniken anwenden, welche keine unrealistischen Regularitätsannahmen benötigen. Das zweite Ziel ist den Einfluss des Sensibilitätsparameters zu untersuchen und asymptotische Ergebnisse für Grenzwerte des Parameters herzuleiten. Mit diesen Resultaten möchten wir das theoretische Fundament der genannten nicht-invasiven Testmethoden untermauern und die effektive Anwendung dieser Methoden verbessern.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen