Höhere Geometrie und Feldtheorien
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das Ziel dieses Projekts war die Entwicklung des Zusammenhangs zwischen höher-geometrischen Strukturen und der Mathematik physikalischer Feldtheorien. Konkret war mein Ziel die Klassifizierung eines wichtigen Typs von Theorien, aufbauend auf höher-dimensionalem Paralleltransport. Paralleltransporte vergleichen Daten, die an beliebigen Punkten in einem Raum angehefted sind (also Fasern von Bündeln) entlang belieber glatter Pfade in dem Raum. Sie sind ein fundamentales Werkzeug in der Differentialgeometrie und beschreiben beispielsweise frei fallende Beobachter in der allgemeinen Relativitätstheorie. In der modernen Forschung ist es notwendig, Daten auch entlang höher-dimensionaler Objekte zu transportieren, wie z.B. Flächen, die zwischen verschiedenen Pfaden interpolieren. Das Projekt konzentrierte sich auf funktorielle Feldtheorien (FFTs). Wie in den besser verstandenen TQFTs werden hier geometrischen Räumen auf bestimmte Weise Daten zugewiesen. Jedoch kodieren FFTs auch wie sich diese Daten unter glatten Variationen der geometrischen Räume verhalten. Zusätzlich können in FFTs die geometrischen Räume mit weiteren Daten dekoriert werden, die nicht rein topologisch sein müssen. Während des Projektes ergaben sich leider mehrere Hindernisse. Es stellte sich heraus, dass es zum Lösen der Projektziele mehr neue mathematische Technologie notwendig war als vorhergesehen. Das betraf z.B. die explizite Behandlung von Daten mit unendlich vielen Leveln von Kohärenz, sowie glatte Familien geometrischer Daten mit infinitesimal definiertem Paralleltransport (also Zusammenhängen). Zwar waren diese Probleme zuvor in der Literatur auf abstraktem Niveau bereits behandelt worden, doch die existierenden Methoden erwiesen sich als unzureichend stark für die expliziten Berechnungen, die für dieses Projekt notwendig waren. Die Entwicklung dieser Technologien war zeitaufwendig, aber erfolgreich, und hat bereits Resultate geliefert die über das Projekt hinaus von Nutzen sind. Äußere Hindernisse bestanden darin, dass eine andere Gruppe genau am Start dieses Projektes einen Preprint veröffentlichte und einen zweiten ankündigte, die behaupteten, einen Großteil der Ziele dieses Projektes zu erreichen und zu übertreffen. Diese Entwicklung hatte einen großen Einfluss auf das Projekt. Leider stellte es sich als schwierig heraus, mit jener Gruppe zu kommunizieren, und bedeutete letztendlich, dass ich mich und meine Arbeit zu einem gewissen Ausmaß in der Forschungslandschaft neu positionieren musste. Diesen Hindernissen zu trotz habe ich wären des Stipendiums viele Projektziele erreicht und wichtige Schritte für weitere Ziele verwirklicht. Ich werde in naher Zukunft weitere Projektergebnisse veröffentlichen.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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An ∞-categorical localisation functor for categories of simplicial diagrams
Bunk, S.
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Higher geometric structures on manifolds and the gauge theory of Deligne cohomology
Bunk, S. & Shahbazi, C. S.
