Asymptotische Analysis und die Brücke zu symmetrischen Kegeln in der Dunkl-Theorie
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die Resultate des Projekts liefern Beiträge zur Dunkl-Theorie, und zwar vorrangig, aber nicht ausschließlich im rationalen Fall. Ein Fokus lag auf Analogien zwischen der Dunkl-Theorie für Wurzelsysteme vom Typ A und der Analysis auf symmetrischen Kegeln. Es bestätigte sich, dass sich viele bekannte Resultate der radialen Analysis auf symmetrischen Kegeln in den Dunkl-Kontext verallgemeinern lassen, allerdings waren dabei aufgrund des fehlenden Gruppenhintergrunds oft ganz andere Beweise erforderlich. Als wichtiges Werkzeug diente die Laplace-Transformation im Dunkl-Setting von Rösler (2020), die formal auf Notizen von I.G. Macdonald aus den 1980iger Jahren zurückgeht. Der erste Teil des Projekts war motiviert durch die Arbeiten von Macdonald sowie Baker und Forrester zu Calogero-Moser Modellen. Für nichtsymmetrische Jack-Polynome erzielten wir mittels einer Rekursion von Knop und Sahi eine Laplace-Transformationsformel, welche die fundamentale Transformationsformel für Potenzfunktionen auf einem symmetrischen Kegel verallgemeinert. Sie implizierte dann Laplace-Transformationsidentitäten für Heckman-Opdam hypergeometrische Funktionen sowie für Jack-hypergeometrische Reihen. Als weitere Folgerung bewiesen wir eine Post-Widder-Inversionsformel für die Laplace Transformation. Ferner wurden K-Besselfunktionen im Dunkl-Setting sowie assoziierte Zeta-Distributionen studiert. Dies steht in Analogie zu Resultaten von Clerc und Rubin für symmetrische Kegel und zeigt interessante Zusammenhänge zwischen den Strukturen vom Typ A und solchen vom Typ B. Weitere Teile des Projekts waren der asymptotischen Analysis gewidmet. Bei festem Rang wurden Limesübergänge zwischen nichtsymmetrischen Heckman-Opdam-Polynomen und dem Cherdnik-Kern vom Typ BC zu den entsprechenden Objekten vom Typ A erzielt. Für den Fall, dass der Rang gegen unendlich geht, erhielten wir für Wurzelsysteme vom Typ A und Typ B insbesondere eine präzise Charakterisierung der möglichen Grenzfunktionen. Diese Resultate stehen in Zusammenhang sowohl zur harmonischen Analysis auf unendlich-dimensionalen symmetrischen Räumen als auch den sogenannten Beta-Ensembles in der Theorie der Zufallsmatrizen und der Integrable Probability. Im Bereich der Dunkl-Theorie zu allgemeinen Wurzelsystemen wurde ein Helgason-Johnson Satz gezeigt, der die Spektralparameter charakterisiert, für welche der Cherednik-Kern beschränkt ist. Dies verallgemeinert ein Resultat von Narayanan et al. (2014) für hypergeometrische Funktionen. Als Konsequenz ergab sich ein Riemann-Lebesgue-Lemma für die Cherednik-Transformation. Ferner wurde die multitemporale Wellengleichung im rationalen Dunkl-Fall studiert, und schließlich gelang es mit neueren Resultaten von Dziubanski und Hejna zur Dunkl-Translation, einen vollen elliptischen Regularitätssatz für rationale Dunkl-Operatoren zu beweisen.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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The Dunkl-Laplace transform and Macdonald’s hypergeometric series. Transactions of the American Mathematical Society.
Brennecken, Dominik & Rösler, Margit
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Contributions to Dunkl theory. PhD thesis, Paderborn University, July 2024. 193 pages.
D. Brennecken
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Dunkl convolution and elliptic regularity for Dunkl operators. Mathematische Nachrichten, 297(12), 4416-4436.
Brennecken, Dominik
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Hankel transform, K-Bessel functions and zeta distributions in the Dunkl setting. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 535(2), 128125.
Brennecken, Dominik
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The Laplace Transform in Dunkl Theory. Trends in Mathematics, 77-87. Springer Nature Switzerland.
Brennecken, Dominik & Rösler, Margit
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Boundedness of the Cherednik kernel and its limit transition from type BC to type A. Indagationes Mathematicae, 36(6), 1717-1744.
Brennecken, Dominik
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Limits of Bessel functions for root systems as the rank tends to infinity. Indagationes Mathematicae, 36(1), 245-269.
Brennecken, Dominik & Rösler, Margit
