Die Robustheit von periodischen Mustern in neuem Licht: Wellennummer-Auswahlgesetze durch nichtlineare Stabilität von angetriebenen Fronten und Quelldefekten

• Antragsteller: Dr. Björn de Rijk
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 491897824

In vielen physikalischen Systemen spielt die Invasion instabiler Zustände eine wichtige Rolle bei der Bildung komplexer kohärenter Strukturen. Lokalisierte Störungen des instabilen Zustands wachsen typischerweise an, sättigen sich bei endlicher Amplitude und breiten sich in den instabilen Zustand hinein aus, wobei sie hinter einer ausbreitenden Invasionsfront ein neues räumlich periodisches Muster erzeugen. Eine grundlegende Frage besteht darin sowohl die Geschwindigkeit dieser Invasionsfront als auch das von ihr ausgewählte Muster vorherzusagen. Die Marginale-Stabilitäts-Vermutung besagt, dass die ausgewählten Geschwindigkeiten und Wellenzahlen durch diejenigen Frontlösungen bestimmt werden, die in einem geeigneten Sinne marginal spektral stabil sind. Unser Ziel ist es, diese Marginale-Stabilitäts-Vermutung für die Musterauswahl, ein offenes Problem seit ihrer Formulierung in den 1980er Jahren, zu beweisen. Um dieses Ziel zu erreichen, entwickeln wir eine präzise nichtlineare Stabilitätstheorie für musterbildende Frontlösungen, deren Ausbreitung durch eine lokalisierte Mode am Frontübergang bestimmt wird. Unsere Theorie zeigt, dass diese Fronten Anfangsdaten, deren Träger auf einer Halbgerade liegen, anziehen. Sie bestimmen dadurch sowohl die Ausbreitungsgeschwindigkeiten als auch die ausgewählten Wellenzahlen für die Invasion aus stark lokalisierten Anfangsdaten. Auf technischer Ebene verwenden wir"`far-field/core"‘-Methoden, um die komplexe Interaktion zwischen der neutralen Translationseigenmode, die die Ausbreitung antreibt, und der ausgehenden diffusiven Mode, die mit dem periodischen Muster im Nachlauf der Front assoziiert ist, zu erfassen. Die Anpassung des Frontübergangs als Reaktion auf die Anregung der Translationseigenmode führt zu einem nichtlokalisierten Phasenmischungsproblem für das hinter der Front liegende Muster. Aus diesem Grund verwenden wir einen Phasenmodulationsansatz und arbeiten in Räumen beschränkter, gleichmäßig stetiger Funktionen. Für dispersive-dissipative musterbildende Systeme wie die Lugiato-Lefever-Gleichung, die mit solchen Funktionenräumen inkompatibel sind, entwickeln wir einen alternativen Rahmen basierend auf Modulationsräumen. Die von uns entwickelten Methoden können allgemeiner in Problemen, in welchen die Interaktion zwischen lokalisierten und ausgehenden diffusiven Moden auftreten, verwendet werden. Insbesondere beabsichtigen wir unsere Techniken einzusetzen, um die nichtlineare Stabilitätstheorie von Quelldefekten voranzutreiben. Quelldefekte fungieren als Organisatoren der Dynamik fernab eines Ruhezustands, indem sie aus einem lokalisierten Kern heraus ausgewählte periodische Muster emittieren. Durch den Beweis, dass Quelldefekte nichtlinear stabil gegen vollständig nichtlokalisierte Störungen sind, heben wir alle bisherigen Annahmen über die Lokalisierung von Störungen auf und zeigen, dass Quelldefekte robustere Mechanismen zur Musterauswahl darstellen, als bisher angenommen wurde.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: USA
• Kooperationspartner: Montie Avery, Ph.D.
• Mitverantwortlich: Professor Dr. Guido Schneider